LIVBE II. — SECTION II. —' CHAPITRE V

On a donc la première des équations (i), réquation(2), l'équation (3) et celle que nous venons d'écrire; or on peut remplacer celle-ci par une autre résultant de sa combinaison avec réquation (3); cette équation est

dr di' ~" dl' "" dr

Or cette équation conduit évidemment, quand on passe à la limite, à la relation

IF ~ di^ '

donc,, dans le cas de n + 1 intersections, en appliquant le tour de démonstration qui fait descendre à n + 1 le théorème démontré pour /i, on aura toutes les dérivées de 7i en ^jusqu'à Tordre n égales entre elles pour la valeur particulière /». On arrive ainsi à cette proposition générale :

TflftoRÈXB. — Deux courbes qui ont en un point un contact du n'*^' ordre, et qui sont représentées par les équations (c), (C), sont telles que, pour la valeur de la variable t relative à ce point, les dérivées successives du même ordre des trois variables X, fx, v; 4^, dlL, 3f^ sont deux à deux égales jusqu^à l'ordre n inclusivement.

Examinons actuellement le cas oii les équations des deux courbes [c) et (C) ne se rapportent pas à la même variable indépendante /. Soient les équations de ces deux cqurbes :

^ ( X==/(/), fx = /.(0, v = /,(/),

' (<^=:F(0), DÏL=zF,{6), ^=f.{0).

Soient 0., 0,, 0a,. . ., 6«; /«, /i, /a,. . ., tm les valeurs de 6 et de ^*qui se rapportent aux intersections Ot, Oi,..., 0«. Comme, en ces intersections, les valeurs de X et de 4^ doivent être les mêmes, on aura les équations

lf{t,] = V(0.], f{t,] = F{6,],

desquelles on tirera 60 en fonction de /«, d. en fonction de