DU CONTACT DBS LIGNES ET DES SURFACES

/ 9 On en fonction de /»; donc» en ayant égard à ces équa*

tiens, les coordonnées ^, JR/» Sft» seront aussi données, en ces points d'intersection, en fonction des valeurs de /«, ^i »^> • • • > ^ de la variable t, et la question sera ramenée à la précédente.

Remarquée. — i*" Les équations (4) sont les équations qui établissent la dépendance entre les deux variables indépen* dantes; et les équations de condition relatives aux dérivées des coordonnées de môme nom X et 4^ seront identiquement satisfaites par suite des équations (4); mais il n'en sera pas de même des équations de condition relatives aux autres coordonnées de même nom fx, ^nt, v, X.

2^ On est libre de prendre pour équations de dépendance entre les variables t^ 9, celles qui proviennent de ce que deux coordonnées de même nom des deux courbes sont égales entre elles, aux points d'intersection; alors les équations de condition relatives aux dérivées de ces coordonnées de même nom seraient identiquement satisfaites au moyen des équa* tions de dépendance; et pour les autres équations de condition, il n'y aurait, comme cela doit être, qu'une seule variable / indépendante, puisqu'en ces points la variable 0 est une fonction connue de la variable i.

ZÙS.^Des courbes osculatrices. — Lorsqu'une courbe renferme, dans sa définition, un certain nombre de paramètres et qu'on les détermine de telle sorte que cette courbe ait en un point, avec une courbe donnée, le contact le plus élevé, la première courbe est dite osculatrice de la seconde.

Soient les équations de la courbe (C)

I? (O •^'^» ^» '> ^' ?»^«' • •^»«) = o> 9,(4^, Dru, 5^, t^axa-ta^.. .a,,) = 0;

les équations d'une courbe renfermant 3n paramètres a., ^t»* . ., âsK, proposons-nous de déterminer les paramètres de telle sorte qu'elle soit osculatrice de la courbe (c).

Les équations (5) déjà écrites font connaître les trois coordonnées ^, U[L, d1- de la courbe en fonction de /; on aura

488 LIVRB II. — SBGTION il. — CHAPITRB V.

donc 3n équalions de condition pour élabUr que les coordonnées de même nom et leurs dérivées du même ordre Jusqu'à Tordre /i — i, sont égales, au point que l'on considère, et l'on pourra, au moyen de ces3it équations» déterminer les 3a paramètres des équations (5); et, conséquemment, les deui courbes osculatrices ont un contact de Tordre n — t.

Remarque. — Si, au point que Ton considère, il existe une

ou plusieurs relations entre les dérivées des coordonnées de

même nom des deux courbes, Tordre de contact surpassera

H — I , généralement, d'autant d'unités qu'il y a en ce point de

. multiples de trois, de semblables relations.

' Cas où les équations (5) se réduisent à deux ne contenant ni l'une ni l'autre la variable indépendante t, — On ramène ce cas au précédent en considérant une des coordonnées ^, par exemple, comme une fonction arbitraire de /, puisque cette équation, jointe aux deux précédentes, fait connaître les trois coordonnées 4^, 0\L^ x en fonction de /, et Tapplicatîon des conditions de contact conduit à cette règle que, pour le contact de Tordre n, il suffît de différentier n fois successives ces deux équalions, en y regardant les coordonnées ^, OU/, ^y la première comme une fonction explicite, les deux autres comme des fonctions implicites de /, et à remplacer dans le résultat les coordonnées 4^, Jlt, Sf^ et leurs dérivées par les coordonnées X, //., v, et leurs dérivées tirées des équations de la courbe (c).

309. Problème I. — Contact d'une courbe quelconque avec une courbe dont les coordonnées sont des fonctions entières et rationnelles de la variable indépendante.

Soient les équations (5) données par les relations suivantes, dans lesquelles a, 6, c sont des constantes :

/ 4^— a -+- 6 / + c /'-4- dt^ -h . . -+-//•, (G)' I OTt^a, -h 6,/ -h c,^'H-rf,/3-+-...4-/,r,

Si Ton développe les coordonnées X, fx, v de la courbe (c), suivant les puissances de / — /„ et qu'on néglige les termes

DU CONTACT DBS LIGNSS ET DES SUEFACBS. ^Sg

qui suivent la dérivée 7i'*"% on aura pour X

(6) 1 rf.,. M3)

et deux équations semblables pour [x et v. Or ces équations donnent une certaine courbe dont les coordonnées et leurs dérivées jusqu'à l'ordre n sont les mêmes que les coordonnées et leurs dérivées jusqu'à Tordre n de la courbe (c) pour la valeur /«, comme on le vérifie sans difficulté a posteriori; de plus, elles donnent les coordonnées ordonnées suivant les puissances entières de / jusqu'à n; donc les équations (6) sont les équations de la courbe (C)', devenue osculatrice de la courbe (c).

Si l'on voulait avoir les valeurs des paramètres a, b, c,..., /, il suffirait d'ordonner l'équation (6) en X, suivant les puissances de t, et d'identifier avec l'équation en ^, {C)\

I** Supposons que les seconds membres des équations (C)' ne contiennent chacun que les deux premiers termes^ les équations (6) .ne renfermeront aussi» en leurs seconds membres, que les deux premiers termes; or, suivant le système de coordonnées dont il s'agira, on aura des courbes différentes qui seront osculatrices des courbes (c); s'il s'agit du système cartésien droit ou oblique, on a les équations de la tangente à la courbe, données par les équations

(6)' •" ç^ ■" rf^ "" rfv. '

dt dt dt

2® Supposons que les seconds membres des équations (C)' ne contiennent querles trois premiers termes; les seconds membres des équations (6) ne contiendront aussi que les trois premiers termes, et l'on aura les transformées suivantes :

[dF'dF-'drdF)^'^'^^ = ^^-^^^'dF'-^^-^^^ IF'

(dfx. d^Vo dv, d'uA d*v. . . rf>o

49^ &1VRK II. — SBCTlOIf M. CHiriTEB V.

ce qui montre que la courbe estsituée sur une surface du premier degré par rapport aux coordonnées X, fi, v; ar^ si Voa porte la valeur de [t^l^] dans la troisième, on a

dï IF ~ ~dt

dT "dF ~~ 'di dV

surface du second degré en X, /jl, v. Donc la courbe est Tintersection de deux surfaces : Tune du premier, et l'autre du second degré.

§ II. — Du CONTACT DES GOUBBBS ET DES SU&FÀCBS.

310. Définition. — Une courbe c a avec une surface s un contact du n'^"' ordre en un point 0», lorsque, en ce point, n + 1 intersections de la courbe et de la surface se confondent en une seule.

Conditions analytiques du contact. — Proposons-nous de déterminer les conditions pour qu'une courbe C d'espèce donnée située sur une surface s ait, en un point donné 0», un contact du n'*"* ordre avec une courbe donnée c. Soient les équations de la courbe c,

les équations de la surface

[s] • ¥(4L,OTL,0b)^=o.

Les équations de la courbe C d'espèce donnée, située sur la surface, sont

les deux premières étant telles que les fonctions F et F, sont

DU CONTACT DBS LIGIIK8 BT DBS SURFaCBS. 49'

d*espèce donnée et contiennent des paramètres qu'il faut déterminer [)ar les conditions du contact, et la dernière étant réquation (3) de la surface.

Il est évident que les conditions du contact des deux courbes ç et C comprendront les conditions du contact de la courbe c et de la surface s, car il ne peut pas se faire que la courbe c rencontre la courbe C sans rencontrer la surface s aux mêmes points; ces dernières conditions auront le caractère spécial d'être indépendantes de la forme des fonctions F et Fi, qui représentent la courbe c; il suffira donc d'éliminer ces fonctions des résultats obtenus pour avoir les conditions analy* tiques du contact de la courbe c et de la surface s.

D'après ce qui a été établi précédemment, pour que les deux courbes c et C aient un contact du n'^' ordre, on a les conditions suivantes:

les équations en W étant l'équation [s] et ses dérivées successives par rapporta /, dans lesquelles on a remplacé les variables 4^, 0R/, X par leurs valeurs en/, tirées des relations indépendantes de T. Il y a donc deux sortes de conditions, les premières dépendant des formes F, Fi, les secondes indépendantes de ces formes. Les premières serviront à déterminer les paramètres contenus dans les fonctions F, Fc Les secondes, qui sont les équations en Wf expriment les conditions du contact d*une courbe c et d'une surface s; on déduit de là la proposition suivante :

TuÉOHÈHE. — Pour qu'une surface ^f ail avec une courbe c, représentée parles équations (c), un contact dun''** ordre^ il suffit de remplacer, dans V équation de la surface et dans ses différentielles successives jusqu'à l'ordre n, les coordonnées du point et leurs différentielles par les coordonnées du point de la courbe c et leurs différentielles.

49^ LIVRB II. — 8BCTI0N II. — GHAHTRB V.

Surface osculatrice d'une courbe. — Étant donnée de forme réquation d'une surface contenant des paramètres» si l'on détermine ces paramètres de manière que la surface ait le contact le plus élevé avec une ligne donnée, cette* surface est dite osculatrice de la ligne. Soit (/» + i) le nombre des paramètres contenus dans Téquation de la surface, si Ton pose les conditions pour que les coordonnées de la courbe et leurs dérivées par rapport à la variable indépendante qui Oxe la position du point sur les courbes satisfassent à i'équation de la surface et à ses différentielles successives par rapport a la même variable jusqu'à Tordre n, on aura (a + i) conditions qui permettront de déterminer les paramètres.

Courbe osculatrice d* une surface, — Étant données de forme les équations d'une ligne contenant des paramètres, si l'on détermine ces paramètres de manière que la ligne et la sur> face aient le contact le plus élevé, cette ligne est dite osculatrice de la surface. Ainsi le nombre des paramètres contenus dans les équations [c] de la courbe étant supposé égal à (/t + i\ cette ligne aura un contact du w'**' ordre avec la surface, si Ton pose les conditions pour que les coordonnées de la courbe et leurs dérivées par rapport à t satisfassent à l'équation de la surface et à ses différentielles successives jusqu'à l'ordre n, et que l'on détermine les paramètres au moyen de ces conditions.

311. Problème 11. — Rendre osculatrice de la courbe c la surface du premier degré par rapport aux coordonnées curvilignes J^, OÏL, 3f^.

Cette surface a pour équation, a, 6, c étant des constantes,

si l'on représente les dérivées successives d'une coordonnée X par rapport à /, par celte lettre marquée d'un accent, de deux accents, suivant Tordre de dérivation, on trouve Téquation suivante :