DU CONTACT DBS LIGNES ET DBS SURFACES

Cette équation représente le plan osculateur de la courbe, si le système des coordonnées est rectiligne cartésien.

Si le système des coordonnées se compose de trois séries d'ellipsoïdes semblables et semblablement placés, ayant un point commun et tangents en ce point chacun à chacun des plans d'un système de trois plans conjugués, on a les équations de transformation

x' r' z^ £? "^ F ^ cP»""

se rapportant à un système droit ou oblique; l'équation {s)' représente un ellipsoïde semblable aux précédents, passant p<ir le même point et ayant avec la courbe c un contact du second ordre, comme le démontrerait la substitution des coordonnées ^, DÏL, JG dans l'équation (s)', en fonction des coordonnées xectilignes x, y, z, tirées des équations précédentes.

Dans le système curviligne donné par les équations précédentes, les coordonnées ^, 3ÏL^ X sont liées avec les demiaxes des trois ellipsoïdes : le premier X, suivant la ligne des j;; le second ifb', suivant la ligne des 7; le troisième Csui- \ant la ligne des z, par cette condition qu'elles sont chacune troisième proportionnelle entre les quantités a, b, c et l'axe correspondant, de sorte que l'on a les relations

Il y a une autre manière d'arriver au même résultat et qui consiste à appliquer à une courbe et à son plan osculateur la transformation par rayons vecteurs réciproques, et ensuite à la surface transformée, qui est une sphère, la transformation homologique dans le cas où le centre d'homologie est à l'infini; les sphères, dans ce cas, se transformant en ellipsoïdes semblables et semblablement placés, on obtient ainsi l'ellip* soïde dont il vient d'être question.

49^ LITRE If. — SECTION II. — CHAPITRE V.

Comme les ellipsoïdes sont semblables à un ellipsoïde donné (a, A, c), les trois axes JU, in>»C; Jl,', ift»'. G' ; *V.", iiî»'', C rif* ces ellipsoïdes sont immédiatement déterminés.

Une remarque qui ne peut échapper au lecteur est que, si l'on suppose que ^, 3ïUy 2f^ sont les coordonnées du point Cf, dans le système rectiligne (3c,y^ z) dont il s'agit, les points O', et Og, le premier ayant pour coordonnées ^ , DSLy SfC,, le secon i or, jr, Zy sont deux points réciproques. Situés sur un même rayon vecteur mené de l'origine des coordonnées, ils donnent naissance aux trois équations

y* Oïl» x> 9. on

On a donc le système de transformation réciproque

y D\L OZ f' OU' x>

^^ lii. -j 1 —

avec la condition

312. De l'ellipsoïde osculateur. — Les équations de condition pour rendre un ellipsoïde osculateur d'une courbe donnée sous la condition qu'il soit homothétique d'un ellipsoïde donné (a, b, c) sont les suivantes :

(EM s^^—-^dx = o,