DU CONTACT DES LIGNRS ET DBS SURFACES

Nous tirons de ces «équations les conclusions suivantes» et nous convenons de représenter et de désigner par le symbole [ay hy c) Tellipsoîde dont les trois demi-axes sont n, h^ c.

I** L'équation (£') prouve qu'il y a une infinité d'ellipsoïdes homothétiques d'un ellipsoïde (a, b^ cr], tangents au point [x^y^z] de la courbe, et que les centres de ces ellipsoïdes sont situés sur un plan conjugué de la tangente, par rapport à l'ellipsoïde [a^ b, c).

7? Les équations (E') et (£'') prouvent qu'en un point (^,^, z) il y a une infinité d'ellipsoïdes homothétiques ayant en ce point avec la courbe un contact du second ordre et dont les centres sont situés sur l'intersection de deux plans infiniment voisins, conjugués suivant [a, 6, c), ou mieux sur une droite conjuguée du plan osculateur, par rapport à l'ellipsoïde [a, byc).

3* Les équations (EM, (E'')y (E'*) prouvent que le centre de l'ellipsoïde osculateur, homothétique d'un ellipsoïde donné, est l'intersection de trots plans infiniment voisins conjugués par rapport à (a, 6, c), ou bien le point d'intersection de deux droites conjuguées par rapport à [a, fr, c) de deux plans osculateurs infiniment voisins.

4<' Si l'on élimine / entre (£') et E""), on a l'équation de la surface développable, enveloppe des plans conjugués par rapport à (a, &, c), ou bien le lieu des centres des ellipsoïdes ho- ^ mothétiques ayant un contact du second ordre avec la courbe; les équations (E'] et (E"^) sont les équations de la génératrice de cette développable.

5*>Siron résout les trois équations (F), (E"), (E"') par rapport à a, ^, y, les variables exprimées en fonction de / représentent les équations de l'enveloppe de la génératrice de la surface développable et enveloppée, qui est l'arête de rebroussement de cette surface; par suite, cette arête est le lieu des centres des ellipsoïdes osculateurs homothétiques.

6** Parmi tous les ellipsoïdes qui ont un contact du second ordre avec la courbe, il faut distinguer celui dont le centre est l'intersection du plan osculateur et de la ligne conjuguée g par rapport à (a, b, c) du plan osculateur : c'est l'ellipsoïde minimum. En effet, tous ces ellipsoïdes ont leurs centres situés

49^ LIVRE II. — SIGTIOK il. — CHAPITIB V.

sur ia génératrice g et coupent le plan osculateur suivant une intersection commune qui est une ellipse; donc l'ellipsoïde en question est Tellipsoîde minimum.

7^ L'ellipse, intersection commune des ellipsoïdes osculateurs homothéliqueSy est l'ellipse tracée dans le plan osculateur, sous cette condition qu'elle soit semblable à la courbe d'intersection d'ellipsoïde donné (a, b^ c] et d'un plan parallèle à ce plan osculateur; cette ellipse est osculatrice de la courbe donnée.

313. PaoBLftVB III. — Déterminer une ellipse oêculalrice el semblable à l'intersection d'un ellipsoïde [a^b^c) et d'un plan parallèle au plan osculateur.

Les coordonnées a, (3, y du centre de cette ellipse sont données par les équations

dans lesquelles on a posé

dxd^X— dyd^x =iZ^ (3)

et dans lesquelles aussi il faut remplacer x^y-y z; a, j3, y par

X r z a ^ y ^ dx^ ï .x . . •

— > T-» -^ -> r> - et S ---r-, PS»»*-*;* On trouvera ainsi, après

a boa b c a^ds* "^ 3' ^

quelques réductions faciles, les équations suivantes :

?Lll^ = abc^ "^"^^P-^^ , ry

a à* a*cos'(v, :r) -+- fc'cos*(v, j) 4-c*cos'(y, ^) ^

de sorte que, si l'on représente par ^ la distance du point de la courbe au centre de l'ellipse, on aura

ê{} a^bU;^ Sa^cos^px

p^ ~~ d* (Sa'cos'vorj'

31{^. Problème IV. — Déterminer un ellipsoïde semblable à

un ellipsoïde donné, semblablement placé et osculateur d'une

ligne donnée.