DU CONTACT DES LIGNES ET DBS SURFACES

Première solution. — Soit l'équation de l*ellipso¥d<e dans le système recliligne orthogonal

posons

7^7 1 JT-7

a o c a o c égaux à XxyXxf Zx\ a,, (3i, 71; l'équation précédente devient

[s], (a, - jr,)«-h (p. -r.)'+ (y. - ^0'== ^';

si Ton différentie cette équation trois fois successives, les équations du contact seront les trois suivantes, en supprimant les indices pour abréger :

(a — x) dx + (;3— jr) dy -^[y-- z) dz rr: o, [a — x)d^x -*r ((3— j) dy-\- (y — z)d^z =z ds\ (a — j?) d*x -h (P — /) dy '^{y — z)ézr= 3ds d%

dans lesquelles ds est une auxiliaire, telle que

ds^ =dx^-h dy^ H- dz^.

Si l'on conserve à Z, X, Y la signification donnée au n**313, on a les deux équations

ds\d^}

^ ^'^ d'z dZ d'x d\ d'y d\'

lis' fis* ds^ ds* 1^ ds*

"" (Sd'xd\)'

Si maintenant on restitue les indices et que Ton ait égard aux relations (i) et à la valeur de i du n° 313, on trouvera, après des transformations connues, les deux nouvelles équa-

49^ LIVRB If. — SECTION II. -- GHAPITII8 V.

lions, d^jne certaine élégance,

).•= ^7 8a'cos*(p, a;) h- 2 ^( log — \Sa*cos(p, jt) cos [y, x)

Ces formules se vérifient facilement dans le cas de la sphère, et elles deviennent

y — -z ~ pcos(p, «) — -^cos(v, z),

315. Deuxième solution, — Cette solution dépend du problème suivant :

Problème V. — Rendre osculatrice d'une courbe c la surface du second degré par rapport à des lignes coordonnées quelconques 4^, «TIL, ^ données par V équation suivante :

les paramètres étant ^♦j OîLe, X,, ,iR.. On aura les trois équations, ^ étant une auxiliaire,

(O — ^)^' ■+■ (^0 — lf')lL' + (Du — v)v' = o,

(^. ~ XjX'^-f- (3PL-0 - f^)fx*'-h (X. - v)v''= 35' 4';

on trouve, en opérant comme ci-dessus, et en posant les équations suivantes :

(X''2.'H-n*''ai;'H-v"'?y')'