SOUS DIVERSES CONDITIONS
§ I. — Trajectoires des lignes cooRDONNfiBs d*un sTsrfcMs.
316. Problème I. — Trajectoires d'un sjrstème par la condition que les composantes obliques du déplacement effectué sur cette trajectoire soient entre elles dans un rapport constant.
Équations différentielles. — Ces équations sont, a, a,, a, étant des constantes,
d<T d(Tx dcTt
a Ux a-,
('){ ■ ds
(a'-4-af-l-fl'-+-aaai cos9-t-2aiaaCOS(pi-h2a,flCOS9,)'
Pour abréger, représentons par k le dénominateur du dernier rapport; nous aurons, par intégration, la relation triple
(2) s — S9 = - j kd(T, (3)
qui donne la longueur de Tare.
Applications. — i" Système birectiligne de révolution. Dans ce système, on a (282) les trois arcs coordonnés donnés par les formules
1' dd ^^Ut sinpidp,
. rfo', = aaiSinprfp„
, sinpsinp, ,
sin(p4-p.)
DÉTERMINATION DBS TBAJECTOUBS D^UN 6YSTÈ1B COORDONNÉ. 5ol
donc les deux équations différentielles de la trajectoire sont, m étant une constante ainsi que /i,
' sinp, sinp sin[p+ptj siup
l'intégration de la première donne» en représentant par a la constante d'intégration,
(3) tang|p4 = ûtang-jp;
or la seconde donne
^p, = n(cospi + sinpiCOtp)</p*
Si Ton porte» dans cette équation» les valeurs de cospi, sinpi, tirées de la précédente» lesquelles sont
2atane*Yp i — a^tang*"!©
sinp, = . X ^ cosp, = — — ~~-^»
^ i-t-a'tang'-jp ^ n-a*tang*"yp
on obtiendra l'équation différentielle
^'"" i-f.a'tang*«ip
X (i — a»tang*"^p-4-aung*"-'7P — «ung^+'^p;.
Si Ton pose
lang^pi^z,
cette équation devient
laquelle peut s'intégrer dans un grand nombre de cas» et en particulier lorsque m est un nombre entier.
Examinons les cas où m est égal à i ou — i. Dans le premier» on a
et dans le second on trouve» au signe près, la même formule.
5o2 LIVRK II. — SBGTlOtf 11. — CHAPITRK VI.
pourvu que Ton change a en Cela étant, on a» dans le
premier cas,
a — I r/p, adz dz
an- I 2/» 14- a}z* i 4- a*
Si Ton représente par G la constante arbitraire, cette équation donne par intégration
Ci — I pj — C , . . .
- - =arc(tang = «z] — arc iang=: z),
et, en remplaçant z par sa valeur, on obtient la formule
(6) tang(l^P-^:i^) = ^^-';^""f.'P-
^ ' °\a4-i 2/1 / i-f-atang'Jp
D'une autre part, la formule (3) donne l'équation
tangi^p, = alangip,
qui est l'équation d'une conique. On a donc les équations de la trajectoire.
Si l'on suppose m égal à ~ 1, les équations (6j et (3] deviennent
lang ^- ) ^\ r^i ^=-^, ung{ptang;p. = fl,
°\a-ri 2/1 / taiig'lp — a ^
dont la seconde représente également une conique.
317. 2*> Système bicirculaire de révolution. — Dans ce système (283), on a les équations suivantes :
/ \ j mdr j rri dn , , ,
(2) 4^A= \/(r4-/"i-t-2a)(r4-ri— 2a) (r— r,-f- 2a)(r,-- r-t-ia];
donc les équations différentielles de la trajectoire du système seront, en représentant par m et /t deux constantes,
ov j 1 j a marri dr
3 j dri — nar = o, ar, 7— m — = o-
DfirKRMINATION DB5 TRAJBCrOIRBg D*UN SYSTftXK COOBDONKÊ. • 5o3
Si Ton intègre la première, on trouve, C étant une constantCi
( 4 ) r, — nr = C,
et, en ayant égard à celte équation, la deuxième éqùrflion différentielle prend la forme
5 dri = 8ma- r-^ ■ ;
l[(i^n)r^CY--/ia^\\/ia^-[{i-n)r-^CY\
or, si Ton pose, pour abréger,
