C-+-5ia . C --in C — 2« C-^-ia

=A, z=a, =v, =Gy,

l'équation précédente deviendra

(i — n'Vrfr, Ldr M dr Nrfr Pdr

Sma r4-X i*-^/x /•— v r — ts

en y représentant par L, M, N, P les constantes que l'on obtient en divisant le numérateur de la fraction située dans le second membre de l'équation (5) par la dérivée du dénomi* nateur, et en remplaçant dans le résultat successivement r par — X, — fz, V, GT. Cette dernière équation s'intègre immédiate* ment et donne, en représentant par Ca une nouvelle constante arbitraire, la relation suivante :

(^' ^-^B^'('-'-C.)=log(rH->)>'(r4-«)-(r-v)«(r-«,)-.

Si n :^ I, la formule (5) devient

(4fl'--CM , (C-Hr)rrfr 2/na ' (r-4- X) (r-h/jt)

dont le second membre peut s'écrire sous la forme suivante :

. XfC-X)rfr fi.(C'-a)dr

de sorte que, en intégrant, on trouve

5o4 * LIVRE 11. — SKCTION II. — CHAPITRE Vf.

L'équation (4) devient, dans cette hypothèse, (4)' r.~r = C.

Si n:±— i^h formule (5) devient, en changeant le signe

de C,

(C»~4a») (CH-r)rrfr

2/na (r— v] ^r— m)

et, par intégration, on trouve

or réquation (4) devient

On a donc, dans ces divers cas, les équations de la trajectoire en termes Onis.

318. Trajectoires sous angle donné d'un système orihogonal. — Les équations différentielles de la trajectoire sont les équations (i) du n** 316, en y posant k^ égal à la somme des carrés des constantes a, a., a^\ on a donc

M(T ddi rfo-j ds

a a, Ut ^a^:i.a]-ha\

Applications. — i* Système de coordonnées polaires. Si l'on représente par r, 9 ei^ le rayon de la sphère, l'angle que le plan qui projette ce rayon sur le plan des xjr fait avec le plan des xz et le complément de l'angle que ce rayon fait avec sa projection, les équations différentielles sont

Si l'on intègre les deux premières, on trouve, en représentant par A et B deux constantes, les équations

tang}?]; 11:1 Be" , r— Ae^>", qui sont les équations de la trajectoire; la première repré-

rd^

rsxtï^ dQ dr ds

a Gt k

DÉTERMINATION DBS TRAJECTOIRES d'uN 8YSTÈ1IB COORDONNÉ. 5o5

sente un cône loxodromique et la seconde un cylindre Ibxodromique.

Coordonnées cartésiennes. -— Si Ton remarque que l'on a réquation

9=,og(^H|H'.y-

les coordonnées cartésiennes sont

07 = Ae''»* sin^ cos

[,„,(!î=|ii)-].

[,o,(ïn|xi)*].

y=^ k c"' * sin ^ sin | log

z •=. A^' cosvp.

La rectification de la trajectoire est donnée par Tintégration de la dernière des équations (i)'

a" Système polaire cylindrique. — Ce système est donné par les équations suivantes :

x=rcos0, jrzzzrsïnQ^ z=:Zy

de sorte que Ton a les arcs coordonnés

da = dr, d(Ti = rdO, rfcj = dz,

et conséquemment les équations différentielles de la trajectoire sont

dr rdô __dz ds

a Ux û, k

desquelles on déduit^ en représentant par r« et 2% deux constantes arbitraires, les équations suivantes de la trajectoire :

Cette trajectoire est Tlntersection d'un cône circulaire avec

5o6 UVMB li. — SECTION II. ^ CHAPITRE VI.

un cylindre loxodromique, c*esi-à-dîre un cylindre dont b section droite est une spirale logarithmique.

319. Trajectoires sous angles donnés d'un système quel-conque. — Soient a, p, y les angles que réiémeni ds de la trajectoire fait avec les trois arcs coordonnés; si Ton projette sur la direction de chaque arc coordonné successivement le périmètre du polygone gauche, dont les côtés sont d<j, da^^ d(Tu dsj on trouve les trois équations différentielles suivantes :

Irf* cos a = dff -\- rfcr, cos 9, -h dcxi cos ?i , ds cosp = d(Tt 4- rfa-tC0S9 -+- rfcr cos 9,, ds cos y =^ rfc-i- d(T COS9, -4- de, COS9 ;

rélimination de ds entre ces trois équations conduit aux équations suivantes :

d(T (cos(3 — rosacosQj) -h </o'i(cos9tCOs[3 — cosa)

-hrf(ra(cos9, cosj3 — cos9Cosa; = o,

rfo-|(cosy — COSPCOS9) -h d(7t(cos9 cosy — cos(3) [ 2 j <

^ • rfo-(co&9acosy — cos9»cosp) =0,

c/o-3(cosa — cosy COS91) ■+• rfG-(cos9, cosa — cosy) \ -f- do-, (cos 9 cos a — cos 9, cosy) = o,

qui sont les équations différentielles de la trajectoire.

^application au système donné par trois surfaces réglées, — Les équations de ce système de coordonnées sont les trois équations contenues dans le type

(3) a: = a:'4- wX H- v//, (3)

x'^y' y z' étant les coordonnées d'un point d'une courbe directrice donnée, u et v deux longueurs vasiables, mais indépendantes; \ X,, X, les cosinus des angles que la première fait avec les trois axes fixes des ^, j, z ; a, /x,, fx, les cosinus des angles que la seconde fait avec les mêmes axes, ces cosinus variant avec les coordonnées x\ y\ z* de la direcirice et, par .conséquent, étant fonctions, ainsi que ces coordonnées, d'une variable /; enfin ^, jr, 2 sont des coordonnées d'un point quelconque de Tespacc, variant par suite de la variation des trofs

DÉTERMINATION DBS TRAJECTOIRES D'uN SYSTÈME COORDONNÉ. 5o7

quantités i, u et v, qui sont les coordonnées du système dont il s'agit.

On voit que, si l'on suppose u constant, on a une surface réglée; si Ton suppose v constant, on a une surface réglée; si l'on suppose t constant, on a un plan; ces trois surfaces sont les trois surfaces coordonnées.

jircs et angles coordonnés, — Si l'on différentie les équations (3) en y faisant tout varier, on a l'équation

(4) dx=:[dx'-^ udk-^vdij.) -^Tidu-h iidv; (3)

en élevant ces trois équations au carré et en ajoutant, on trouve la valeur complète du déplacement ds, de laquelle on déduit

rfo-* = 2 (rfx'-i- udl -f- i^dyL)\ d<j\ = rf//*, rfo-,= dv\

d<j rfo-, coscp = 2|x(rfo"-f- wrfX-t- i'rfp.), ddx ddi cos 9 r= 2 \a du dv.

Trajectoire sous angle donné du système. — Appelons ds' l'élément de la courbe décrite par le point x\ x\ 2', et 9 TaDgie des deux droites u el v; du et d(^ les déviations angulaires de ces deux droites; on a la relation

(9) cos9--2Xfx.

Or, si Ton applique à ce cosinus le théorème des courbures inclinées (49), on trouve la relation

(9)' — sin9rf9=:di'COs(tt, iv) 4- ducos(v,àu).

D'après cela, les équations différentielles de la trajectoire, en remplaçant dans les équations (i) les arcs coordonnés par leurs valeurs, sont

dscosa^dfT-f- -j-lds' cos (u, ds') 4- vivtos[u,iv]

ds cos(3 = ds cos (//, ds') -^ vdv cos (a, 8v] -f- cos 9 dv -\-du^ dscosy ^ds' cos{Vf ds' ] -hMâ«cos(c', â/i) -^cosodu-hdv.

5o8 LIV&K II. — SKCTION II. — CHAPtTtB VI.

Pour abréger, posons

^ cosl*', au) = a,. ^ cos(«, ds'] = *,

j- COS (tt, ôi') 1= a. ^ cos(i/, A') =r A. ;

a, a., 6, 6| sont des fonctions connues de /, et les équations précédentes prennent la forme

/ dv\ds ,. .du ,. .rfc fitr^

..... , ^ds du dv ,

(<>)' i «os(3 j^ --j^- cos? - - a*» - * ^ o.

</« dv du ,

'='''>' rfi - rff— *'°"'' rfZ -'''"-*' = '»•

Telles sont les équations différentielles de la trajectoire entre les variables s, u, v et la variable indépendante I. La première a une forme symétrique et les deux autres sont linéaires, ce qui rend le système intégrable dans quelques cas dignes d'être remarqués, comme nous allons le voir dans les numéros suivants.

§ II. — Dis trajectoires orthogonales d*unb surface