COORDONNÉE
320. Équations différentielles. — La trajectoire orthogonale de la surface p fait des angles droits avec les deux lignes coordonnées {/o-.» dcr^ qui se trouvent sur la surface p. On a donc (319] les deux équations différentielles qui résultent des formules (i) du n" 319
1 dc^ ■+■ rfCaCOSÇ H- d<7 C0S(pî = 0,
( rfo-, -f- d(T coscp, -h d7i cos(p = o; or on a la relation
ds^ =-. y. rfff' -f- zl rfo-, d(Tj cos<p ;
donc les équations (i) sont les dérivées de ds\ la première
DÉTERMINATION DBS TRAJBGTOIRBS 0*UIf STSTËME COOKDONNfi. 5o9
par rapport à da^ la seconde par rapport à datt considérées comme variables.
On déduit des équations (i) les deux suivsfntes :
, , l Jcsin*© -J-rfo-fcosç, — COSÇCOS9,) = o,
{ <fo'iSin*9 4- ûfo-fcosç, — cosçcostp,) = o;
or, si l'on remarque que Ton a, dans le trièdre formé par les directions d<T, d(Ti, drru les deux équations
cos9i = cos(pcos(pj — sin(psin<paCos6,, cos<p,= cos(pcos9i — sinf sincpicosd,,
les deux équations (2) deviendront
( rfo'aSin9 = rf(rsin(piC0SÔ„ I rfo", sinçz^rrfo-sinç, cosô,.
Telles sont les équations différentielles de la trajectoire orthogonale des surfaces p» mises sous la forme la plus simple.
Deuxième solution. — Soient les coordonnées x,x» ^ d'un point d'intersection des trois surfaces coordonnées en fonction de p, pif ps. Si l'on ne fait varier que pi ou pu on aura un déplacement effectué sur l'intersection des surfaces p et p^ ou sur Tinterseclion des surfaces p et pt, tandis que» pour un déplacement effectué sur la trajectoire ds^ il faudra faire varier les trois paramètres p, pi, pi. Les projections sur Ox des déplacements effectués sur ^o-i, da^ et ds sont
dx j dx\ . dx j dx , dx , , .
Or, ces projections étant proportionnelles aux cosinus des angles que dv^, dau ds font avec l'axe des x, on aura, pour exprimer que les deux angles {dvt^ ds]^ [dat, ds) sont droits, les deux conditions
^dx fdx , dx j dx j \
S-T- l ->- «P 4- -J- dpx 4- -T- apî ) = o, dp, \dp ^ dp, ^ dp, ^ I
^ ' r.dx (dx J dx J dx J \
5lO LIVRR II. — SSCnON II. — GIIAriTBB Tl.
et, si Ton effeetue les calcals, on tombe immédiatement vir les deux équations (i).
321. Problème II. — Un angle se meut d'après c^tie cokdilion qu*un point donné d'un de ses côtés parcourt une drectrice et que ses deux côtés forment des angles t^ariab^. avec trois axes fixes; trouver la trajectoire orthogawude cr positions du plan de cet angle.
Si l'on se reporte au n^ 319, on reconnaît que les deux dernières équations (6)' de ce numéro sont les équations d. problème lorsqu'on fait les deux angles P et y égaux a deux droits; on a donc les équations différentielles de la trajectoir;>
(du dv ,
-j- -h cos© -77 -f- ai' -4- 6 = o,
^ ^ \ dv du
\ TH "^ ^^^^ --T- -h a^u-h bt=zo.
L'inlcgraiion de ce système linéaire dépend de rinlégraifon
du système
/ du dv
\ -77 ■+- COS 9 — - -+- rti' =0,
Idv du
^C0S9^-f-fl.«-o;
or, d'après notre notation, Téquation (9)' du n'^SlQ donne
(9)" sin9-^ H- a -h a, = 0.
D'après cela, si Ton multiplie la première équation (i)' par» et la seconde par v et qu'on ajoute, on trouve
du dv . ( dv du\ ,
et, en ayant égard à l'équation (9)'', on a une différentielle exacte, dont l'intégration donne, en représentant par O une constante arbitraire,
( 2 ) U"^ ■\- V^ -^ 1UV cos CP = O.
BfitERMlNATIOll DBS TRAJEGTOIRIS 1>*UN SYSlimE COORDONNA. 5l I
On déduit de celte équation, eil la résolvant par rapport à u, l'expression
u:=i— V cos<p àz \IO — v' sin*© ,•
et par la différentiation
, w'sîn'cp — i'^sincpcoso -j^
Si l'on porte cette valeur de u' dans la premier équation (i]\ on obtient l'équation différentielle
sino -r- -f- <i — sino)
dont l'intégrale est
</ Sin O =r: C Sin ( O -+- 1 -: ) I
on trouvera de même
usin9 = Csin qp -h i —. — 1
V J siiicp/
Si, pour abréger, on pose
/adt Ca.dt
sinqt) J sin<p
les Intégrales générales des équations (ij' seront données par les deux expressions
( f sin<p=:Csin(9 -*- a) -h C, cos(9 -4- a), [ 3] 1
I «sin<p~Csin(<p -♦-a,) 4- CtC0s(9 -f-ai),
C et Cl étant les deux constantes arbitraires.
Pour obtenir les intégrales du système (i), nous faisons varier ces deux constantes d'après la règle, et nous obtenons
Sift LIVBR II. — SBCTION II. — GHaPITIIB Vf.
les deux équations suivantes :
^ Tcol^ sin (9 -f- (7 ) -h ^ sin (9 -+- a,)J
-4- -T-î I cot9COs[Q -f- a) -f -: — cos(9H-a,) I -4- 6 =0, di \ ^ ^^ ' SI119 ^ 'J
-r: C0t9 sin ( 9 H- a,] -f- -; — sin [ 9 -h a ) 1 a/ L ^ ^ ' ' sin9 'J
Ces deux équalions, étant résolues par rapport à -^-9 —^^ donnent les valeurs suivantes de ces deux dérivées :
f/C . ^ , 6cos9— i, , , ^, roso— 6 ,
-7-sinTa— a, — 7-^ cos 9-f-a, : costo-ha:,
dt ^ ' sin9 ^ ' S1119 ^^
rfC, . , , ft,cos9— i . / . \ Aroscp— A, . ,
--rrSin a— «,)= r— ^^ sin(9-^a) sin (ç-ha, .
dt ^ sin 9 VT / ^ijj^ VT
On aura donc les valeurs de C et de Ci en intégrant les deux équations précédentes, après y avoir remplacé b et Ai par leurs valeurs; on obtient ainsi
C — C [^Qsyr^osfy/, rfV^ — cos((/, </y)]cos(9-^ a.) , . J siii9sin(a— a,)
/[cos9COs((^, rff'] — cos(f<, rf^')]cos(9 -^ a) , , sin9Sin(a-a,)
r r[cos9COs(i^, rfy) — cos(f<, ds')] sin(9H- a) , ,
' ~ J sîn9sin(a— a,)
/[cos9COs(i£, rff') — cos(y, rf/)]sin(9 -t- g,) , sin9sin[a — ai) > * '
et il faudra porter ces valeurs de C et de C, dans les équations (3), qui seront, après cette substitution, les intégrales générales des équations (i).
On a donc, en termes finis, les intégrales des trajectoires orthogonales des positions du plan qui eontient l'angle mo-
DÉTERMINATION DES TRAJECTOIRES d'UN SYSTÈME COORDONNE. 5l3
bile des deux droites u et v, et l'avantage de celte solution consiste en ce que aucun des éléments de la question n'y a été dissimulé, et que tous les éléments de la courbe directrice et des angles des deux droites ueivy sont mis en évidence. On pourra donc faire coïncider les deux lignes u et v avec telles directions qu'on voudra. Ainsi le plan (uv) coïncidera à volonté avec le plan normal de la courbe directrice dsi, avec son plan osculaieur, avec son plan rectifiant si Ton prend pour droites u et i^y dans le premier cas la binormale et la normale principale, dans le deuxième, la tangente et la normale principale, dans le troisième, la tangente et la binormale, et ainsi de suite.
Les conclusions que l'on peut tirer de cette analyse sont très-nombreuses; car nous n'avons introduit aucune hypothèse ni sur la grandeur de l'angle ui^, ni sur les angles que ces droites font avec les axes fixes, ni sur la nature de la directrice, et nous laissons au lecteur le soin de les développer.
§ m. — Des trajectoires conjuguées d'une surface
