COORDONNÉE
322. Définition.-- One trajectoire est conjuguée d'une surface coordonnée, suivant un ellipsoïde, lorsqu'elle coupe toutes les surfaces de la série de telle sorte que, au point d'intersection, la tangente à la trajectoire et le plan tangent à la surface sont parallèles, la première à un diamètre et la seconde au plan diamétral conjugué de ce diamètre dans l'ellipsoïde.
Équations des trajectoires conjuguées. — Si rellipsoïde donné était une sphère, les trajectoires conjuguées de la surface coordonnée seraient les trajectoires orthogonales de la surface, et les équations différentielles de la trajectoire seraient les équations (i)' du n° 320. Pour passer de ce cas au cas de l'ellipsoïde, il suffirait de prendre la figure homologique de la figure qui se rapporte à la sphère, en supposant placé à l'infini le centre d'homologie, et l'on aurait tout trièdre trirecianglc qui se changerait en un trièdre de trois diamètres
5l4 LIVRK Jl. — SKGTION II. — CIIAPITBE Tl.
conjugués, de sorle que les trois axes Qxes coordonnés seraient parallèles à un svstème de diamètres conjugués; or^ pour prendre la figure horaologique» il suffit de remplacer ^,
/, z par — » ^* -» et toute longueur par la longueur corrc-î-
pondante de la figure transformée, divisée par le demi-di»mètre parallèle de Fellipsoîde transformé de la sphère. D'apré< cela, on voit que les équations (i)' du n® 320 deviendront le^ équations suivantes :
/ „ I (fx idx , Hx , dx , \ -, 1 dx (dx j dx , dx . \
qui seront les équations de la trajectoire de la surface coordonnée p, d'après celte loi que cette trajectoire satisfait aun conditions de notre déHnition.
Il est vrai que le s^rstème des axes coordonnés n'est plus rectangulaire, mais oblique; or, comme il est nécessairement composé d'axes parallèles aux diamètres conjugués de l'ellipsoïde et que, dans l'ellipsoïde, il existe un système de diamètres conjugués orthogonaux, les équations précédentes se rapportent également à ce système, et l'on peut supposer les axes coordonnés des x, jr^ z rectangulaires entre eux. Ce sont donc les équations différentielles de la trajectoire conjuguée, suivant l'ellipsoïde [a, b, o), des diverses positions de la surface coordonnée p du système curviligne (p, pi, ps).
323. Problème III. — Un angle se meut d'après cette con^ dition qu'un point donné d'un de ses côtés parcourt une directrice et que ses deux côtés forment des angles variables^ d'après une certaine loi^ avec trois axes fixes; trouver la trajectoire conjuguée^ suivant un ellipsoïde donné (a, 6, c), des positions du plan de cet angle.
On prendra, comme au n*^ 319, les équations '
auxquelles on conserve la même signification. D'après cel«i,
DÉTERMINATION DES TRAJCGTOIRKS D*UN SYSTÈME COORDONNÉ. 5l5
les équations de la trajectoire seront, d'après les conditions ( i ) du numéro précédent,
1 S — rf//(rfx'-f- udk -+- vda -h "kdu -f- ^rfv) = o, I S—^dv[dx'-^- util ■+- vdft. + X</« + ftdv] — o,
ety en effectuant les calculs,
; du V dv lij. Idl , ^Idu. ^ Xrfx'
, ., ) dt a^ di à" a'dt a}dt aUii '
du fû, dif fj} ^[xdl r.\^du. oM^^'
Nous allons transrormer ces équations; pour cela, nous poserons
(4) «, = «4/s-;. ,.. = „i/s^, cos9= ^^',
cil et i'i étant de nouvelles variables; par la différentiation, on trouve
dv ___ ^dt fh ^ __ rf/ «,
Si Ton porte ces valeurs de w, v et de leurs dérivées dans les équations (2)', on trouve les deux transformées suivantes :
rf"i dv, v/ I e/^'^ ^' rt' 1
-77 4- cos 9 -7- H ^ -\ S^~ . L-i — o
5l6 Lir«K II. — SeCTlO!! 11. — chapitrb ti.
Or, si l'on représente^ dans ces deux équations, les coefficients de Vt et de <ii par A et A|, on reconnaît que leur somme est égale à la dérivée de cos9y d'après Texpression de ce cosinus donnée par la troisième des équations (4)» de telle sorte que l'on a la condition
(5) ^cos9 = A-hA.;
donc les équations (^Y sont de même forme que les équations (f ) du n^ 321 et deviennent
H- costp -^ -h A i/, -i ■r==^ = o.
dvi diit ^ -„ .
-77 -H COS9-7- -f- A.«, H- - — — o:
al dt t ,,j
donc les intégrales des équations (1) du n"" 321 sont aussi les intégrales des équations (2)" que nous venons de trouver, pourvu que l'on ait égard aux valeurs de A, At, C0S9 et des termes tous connus.
Remarque. — Rien ne limite la généralité de la question que nous venons de traiter; elle renferme, comme cas particulier, une classe de problèmes intéressants sur les trajectoires conjuguées de plans liés, soit avec une surface développable, soit sur une surface gauche. Qu'il nous sufBse de signaler le problème relatif à la recherche des intégrales des courbes dont le lieu des centres des ellipsoïdes osculaieurs, homothétiques d'un ellipsoïde donnée est une courbe aussi donnée, problème dont notre analyse donne la solution complète.
DÊTERHINATION DKS TRAJECTOIRES D*UN ST8TÈMK GOORDONNfi. 5l7
§ IV. — Courbes coifiUOufiBS d'uhe sérib db coubbbs non pianbs.
324. Trajectoires conjuguées des positions d'une courbe quelconque. — Soient
(c) a: = 9(rt, /), 7=:9,.(a, /), 2r=(p,(a, /)
les équations d'une courbe non plane quelconque, / étant la variable qui fixe la position du point sur la courbe et a un certain paramètre qui conserve la même valeur pour une même courbe. A chaque valeur particulière de a correspond une courbe déterminée ; mais, si Ton donne à a une suite de valeurs différentes, on aura une série de courbes provenant de ces valeurs différentes, et cette série de courbes est représentée par le système des équations (c); on se propose de trouver les trajectoires dont les équations auraient la forme
et telles qu'en chaque point d'intersection d'une courbe de la série (c) avec une courbe de la série (c') les tangentes soient parallèles aux deux diamètres conjugués de la section faiie dans un ellipsoïde donné (A, B, C), parallèlement à ces tangentes.
Cette question peut être traitée directement de la manière suivante. Nous supposons le système de coordonnées rectilignes quelconque. Pour avoir les composantes suivant tes trois axes coordonnés du déplacement ds effectué sur une des courbes de la série (c), il faut prendre les différentielles, par rapport à /seulement, des équations (c) ; ce qui donne les trois équations renfermées dans le type suivant et relatives chacune à une des coordonnées de la courbe
dx rfcp
dT '"'dt'
Pour avoir les composantes suivant les trois axes coordonnés du déplacement dcx effectué sur une trajectoire quelconque des courbes (c\ il faut prendre les différenlielleî^ totales par
5l8 LIVBC II. — SWCTlOJi II. — CBAPITKE Tf*
rapport à a et / des éqaations (c), ce qui fournit les troi^ équalioDS contenues dans le type suivant :
#/q . dp ^ ox = -r- oi -i — r- oa, ai du
Mais, si Ton veut que cette trajectoire soit conjuguée suivant l'ellipsoïde (.4, B^C) de la série des courbes [c], il faut que les composantes de ces déplacements satisfassent à l'équation
^, dxox dyoy dzdz
or, en portant dans cetie équation les valeurs de dx, dj-, dz ; dx, àjTj dz données par les équations précédentes, on obtient la relation
/ / 1 r/o dp I dpt dzi I rfcpa dojX ^ \\lï^d7idt'^B^~d^'dt'^Ôin liï)
i / dp^ d^] dQl \ .
dans laquelle les coefficients da et ii sont des fonctions de a et de /. C'est une équation différentielle du premier ordre, dont l'intégration fera connaître a en fonction de la variable / et d'une constante arbitraire fr, de sorte que, si l'on porte cette valeur de a dans les équations (c), on obtiendra les trajectoires conjuguées de ces courbes sous la forme (c'), âe qui est le but qife nous nous proposions.
325. Les courbes de la première série sont des droites, — Il existe un théorème curieux lorsque les courbes de la série (c] sont des lignes droites, lequel consiste en ce que l'équation différentielle des trajectoires est une équation différentielle linéaire du premier ordre. Pour établir ce théorème, résolvons la question suivante, qui est la plus générale que Ton puisse poser sur le mouvement d'une droite.
Une droite se meut de telle sorte qu'un de ses points décrive une courbe E et forme avec les trois axes coordonnés des angles variant d'après une loi donnée : trouver les trajectoires conjuguées Jes positions de cette droite.
UfiTKRMINATlOX DBS TRAJECrOlBKS D*UN SYSTfcMB COOKDONNÊ. SlQ
Soient les équations de la courbe E,
Soit r' la droite donnée, v' la perpendiculaire à deux positions infiniment voisines de ia droite r ; d^ l'angle de ces deux positions et p' la direction de Tare de cercle correspondant à cet angle; il est évident que les cosinus des angles que les trois droites /, v\ p' font avec les trois axes coordonnés, supposés orthogonaux» sont des fonctions de la variable t qui fixe la position du point de la courbe £. Soient ds l'élément de cette courbe et dfs l'élément correspondant de la trajectoire conjuguée delà droite mobile; si l'on considère le quadrilatère dont les deux côtés opposés sont d$ et dv et les deux autres côtés les deux longueurs a et a + da^ comptés sur les deux positions infiniment voisines de la droite t', et qu'on projette le périmètre de ce quadrilatère successivement sur les directions des trois droites orthogonales t', vS p% on obtient les trois équations
/ d<T cos { v', dd) =z ds cos {r\ ds) -^ da, (8) j dar cos ('/, dd) =^ dscos {y', ds),
V rfo-cos(p', dar) — rf5C0s(p', ds) -h ade\
Or, si, par rapport aux trois droites t^, v% p' considérées comme axes coordonnés rectangulaires mobiles, on exprime les cosinus des angles que da fait avec les axes fixes des Xy y-y z, on obtient les trois équations contenues dans le type suivant :
j cos[x, d(j) = cos{t,x) cos(t', rfo-) -f-cos(v',x) cos(v', r/er)
cos(p', :c) cos(p';rf(7);
si l'on porte dans ces équations les valeurs des cosinus des angles que da fait avec les trois directions r', y', p\ valeurs qui sont données en fonction de /, de a et de da par les équations (8), on tombe, par suite de la condition (6), sur une équation différentielle linéaire du premier ordre entre les deux variables a et /.
Pour obtenir les coefficients de cette équation, on représentera par ^\ ^', A' les demi-diamètres de l'ellipsoïde
520 LIVHK II. — SBGTION II. — CHAPITRE VI.
(A, B, C) parallèles à r', v', p', el par 9' el ^' deux an^le^ auxiliaires déterminés par les équalions
cos (t^ , x) cos (v', x) cos (t' , r) cos (v', r]
cos(t\ z] cos(v', z] coso'
c» G' Jî,' *
cos(t',:f)cos(p', jt) cos(T',,r)cos(p', r) A' ~B^ ^
cos(t', 2]cos(p', 2) COSlp'
L'équation linéaire dont il s'agit prend la forme significative 1 (fa cos 4»' de'
ds^l cos [T\ds) ^ cos(v',ds)cos(p' ^ cos {p\ ds]r os ^'
dt\ G' DV c^'
dans laquelle tous les coefficients sont des fonctions de ^ Cette équation renferme la démonstration du théorème énoncé au commencement du présent numéro.
326. Trajectoires conjuguées des tangentes d'une courbe quelconque non plane. — 1° Faisons une application des formules précédentes à la recherche des courbes conjuguées des tangentes à une courbe non plane.
Dans l'hypothèse présente, les positions successives de la droite t' sont celles des tangentes à la courbe £, de sorte que la droite r' engendre une surface développable dont la courbe E est l'arête de rebroussement. Il est évident que t* coïncidant avec la tangente t de la courbe £, p' coïncide avec la direction du rayon de courbure p de cette courbe et y' avec la direction de la binormale v ; v' est donc perpendiculaire à l'élément da^ de la trajectoire conjuguée de r; d'après cela, la seconde des équations (8j s'évanouit, et, si l'on supprime de l'équation (10) les termes provenant de l'évanouissement des cosinus des angles (v,ds), (v,da)y (Pfds) dans les équations (8], on obtient, par la suppression des accents et des
DÉTKRMINATIOM DBS TRAJECTOIRES d'uN 5T8TÈMB COORDONNA. 5ai
quantités nulles, l'équation suivante :
, ., i da cosib di I ds
Trajectoires conjuguées des binormales d'une courbe non plane. — La deuxième application des formules trouvées dans le numéro précédent est relative à la recherche des courbes conjuguées suivant Tellipsoïde (Â^B^C) des diverses positions de la binormale à la courbe E.
Dans cette hypothèse» il faut faire coïncider z' avec la binormale à la courbe E; si l'on représente toujours par r, v, p la tangente, la binormale et le rayon de courbure de cette courbe, les trois équations (8) deviennent, en représentant par d(ù l'angle de deux positions infiniment voisines de v,
t da cos(v 9 d(T) = da, {i8)' I rfo-cos(T, rfo") = ds,
( Jacos(p, d<r) = a don,
et, si l'on introduit l'angle auxiliaire 0 déterminé par la condition
cos(p, x)cos{v,x) cos (p,,r) cos(v, ,r)
cos(p, z) cos(v, z) cosQ
l'équation (lo) devient
, .„ i da cosÔ d(ù coscp ds
On trouverait de la même manière l'équation différentielle des trajectoires conjuguées des diverses positions du rayon de courbure d'une courbe non plane.
327. Trajectoires conjuguées des tangentes à une hélice, — Pour montrer de quelle manière les calculs doivent être conduits, supposons que la courbe donnée E soit une hélice
Sll LIVIIK II. — SECTION II. — CIIAPITIIB VI.
tracée sur un cylindre circulaire de rayon R, et que l'iaclinaison constante de la tangente à cette hélice sur le plan perpendiculaire à l'axe soit i; on a les équations suivantes, es posant m = tangi :
x = Rcos/, 7=Rsîn/, z=:Rm/; cos(/, ar)=— sinTcosi, cos(/, j)=cos/cosi, cos(/, zl = sîn/: cos(p,j:)=— cosf, cos(p, j) = sin/, cos(p, z) = o;
d'après ces valeurs, Téquation (lo)' devient
^ ' al m} I / I I \ . ces/
dont l'intégrale, en posant, pour abréger, — — — = —.
T7--1- jTj = -» se ramène aux quadratures et dépend de la fonction elliptique F de première espèce. Cette intégrale est, en représentant par b la constante arbitraire,
fi '■=['-E^K:-)]\/'-?^'°"'
de sorte que, si Ton prend si^r la tangente à l'hélice, à partir du point de contact, une longeur égale à a, on aura les équations • , , X — Rcos/ r— Rsin^ z — Kmt
12) ■. = ' — -: r= : : = fl,
qui représentent les trajectoires conjuguées des tangentes à l'hélice, suivant l'ellipsoïde (A, B, C).
Si l'ellipsoïde (À, B, C] est de révolution autour de Taxe C« il faut faire A et B égaux entre eux dans l'équation (10)', laquelle perd le second terme et.se réduit à
da R
ut cos/
DfiTkRMINATIOM DhS TRAJECTOIRES Vl}ff SYSTfiMB COORDONNA. 5a3
elle s'intègre immédiatement, de sorte qu'en représentant par b la constante arbitraire, on a l'intégrale, qui se déduit aussi de Téquation (ii),
COSi
et» en portant cette valeur de a dans les équations (ta), on obtient les équations des trajectoires conjuguées des tangentes à l'hélice, suivant un ellipsoïde de révolution autour de Taxe de l'hélice. On reconnaît que ces équations sont celles des trajectoires sous angle constant des tangentes à l'hélice ; et, en effet, lorsque Tellipsoîde de comparaison est de révolution autour de Taxe 2C, la section faite par un plan parallèle à deux tangentes inOniment voisines à l'hélice est constante de forme, quelle que soit la position de ces deux tangentes, et la parallèle à la tangente forme des angles constants avec les axes de cette section, ce qui exige que la direction conjuguée de celle de cette parallèle forme avec elle aussi un angle constant.
§ V. — Trajectoires des surfaces coordonnées.
328. Définition. — - La trajectoire, sous angles donnés, des surfaces coordonnées d'un système est la courbe qui traverse le système en formant des angles donnés a, 6, c avec les normales aux surfaces coordonnées p, pi, pt.
Équations différentielles. — Soient ^/^le déplacementeffectué sur la trajectoire et dv^ dvu dv^ les composantes obliques de ce déplacement suivant les trois normales; si l'on projette successivement le polygone, dontles côtés sont dv, dvt, dvu ds, sur les trois normales, on a les trois équations
dscosa = dv — rfv.cosôa — (/v,cosô, , dscosb = dvi— dvicosô —rfv cqsÔï, dscosc = rfv,— rfv cos^i — rfv.cosô.
Or, dans ces équations, les composantes </v, c/v., dv% doivent être exprimées en fonction des paramètres différentiels. Mais, si l'on se reporte au n® 306 et qu'on représente parfrfo-), (d^i), (rf<T,) les projections orthogonales de ds sur rfc-, r/o-,, rf<r„ on n
524 LIVRE II. — SBCTION II. — CIIAPITfiB VI.
les équations
(dtr) =rfv cos(n, rfo-), (rfo-, ) = rfv, cos (n,,rf(T,), ( rfo-, ) = rfva cos {nu dat) ;
conséquemmeni les équations précédentes seront
dscosa = HA [da] — H,A,(c/o-i) cos0, — H,A,(rfo',) cosOi. rf5COs6 = H,A,(rfo',) — H,A,(rf<j3)cos0 — HA(f/<7) cosô,, dscosc = HiA,(rf(T,) — HA(rfc7')cosô, — H,A,(rfo■,)cos0- L'élimination de J« entre ces trois équations donne les trob suivantes, dont une quelconque est la conséquence des deiii autres :
HA(cosè — cosacos9i)(rf(T) — H,A,{cos0îCOs6— -cosa)(rfo-,) ) ,., — HjA2(cos6iCOsA — cosOcosfl) (rfo-,). ) '
Ces trois équations sont les équations diiîéreniielles de la trajectoire.
329. Problème IV. — Trouver toutes les courbes bissectrices de deux séries de sphères à centres fixes.
Si l'on se reporte au n**282, on trouve que les équations différentielles de ces bissectrices sont
rfp, = 0, rfp, dz rfp = o ;
on a pour intégrales de ces équations, C et Ca étant des con-
stantesy
pa = C„ p,±p = C;
si Tinlersection des deux surfaces représentées par ces équations se meut d'une manière continue, elle engendrera une surface qui coupera les deux séries de spiiéres sous des angles égaux. Or l'équation générale de ces surfaces devant exprimer cette continuité, il faudra que Ci et Ci ne soient plus indépendantes l'une de l'autre, et par conséquent elle sera donnée par la relation
p,i=i9(p.±p), 9 étant une fonction arbitraire.
D^TBRHINATION DBS TRAJECTOIRES d'uN BYSTfeMB COORDONNÉ. 5^5
Si l'on prend le signe inférieur ou supérieur, on a les surfaces qui coupent l'angle des normales des sphères données ou son supplément.
Si l'on avait cherché toutes les courbes qui partagent harmoniquement le dièdre des deux séries de sphères ou son supplément, on aurait trouvé les deux courbes
p, zzrCi, Pi — mp = C, p, = Ca, pi -f- m p = C.
526 LIVRE II. — SECTION II. — CIIAriTRK Vil
