DES TRAJECTOIRES D'UNE SÉRIE DE SURFACES

§ I. — Trajectoires orthogonales d'une surface voirièe.

330. Système quelconque de coordonnées. — Problème!. - Étant donnée la surface V = C, V étant une fonction de p» pi» ps» trouver les équations différentielles des trajectoires orthogonales de cette surface.

Première solution. — Le paramètre différentiel AiVda premier ordre de cette surface est la valeur de K (298) relative à la fonction Y, celte valeur étant exprimée en fonction des variables p, pt» ps au moyen des formules (P) et (i8) du n*306. D'après cela, on a

cos<pcos<p,cos©i rfp» H' ' jLi dp dp, HH. '

en posant

(D = I — cos*9 — cos'çi — cos'ça -h a cosç coso, cos9>.

Les cosinus des angles que la normale X à la surface V faii avec les trois arcs coordonnés sont (298]

rfV

A,V COS ( X, rfo-l = rr-7- >

'Map

A|Vcos(%,rfo-,) =

tiidp.

rfV

A.Vcos(X,rfcr:):-jj^^^

DK9 TRAJRCTOlRIiS d'uNB SÉRIB DK SURFACES, 527

Or les cosinus des angles que la trajectoire fait avec les mêmes axes sont donnés (319) par

ds cosa =da -h rfo-,cos'9,-f- c/(TjC0S9,, ds cosa, -- rfo", H- rfo'2COS9 -h dcr COS9,, dscosai= d(Ti-^ d(T COS9, -♦- rfo-|COS9;

donc, ces cosinus devant être égaux, chacun à chacun, on a les équations

f/(H-^(7, COS9,-hrfo'arOS9, rf(7,-+-rfo'arOS9-|-rfo'COS92

^rfy "" "rfv~

dcTi -4- //o- cos 9, + rfo-, ros 9

h, dp.

Deuxième solution. — Soient HAV„ H, A|V„ HiA^V, les composantes obliques de A. V, suivant les trois arcs é/a-,(/(7i,(/o-, donnés par les équaiions (306),