V./,=^(/i)Acos([n
la longueur AiV, compiée sur la normale à la surface, et
l'élément ^5 de la trajectoire, ayant même direction, sont dans
le même rapport que leurs composantes obliques; on aura
donc
dd rfo-i dcTt
HAV, "" h.A.V. "■ H,//,V/ et conséquemment
/ da
,77ÎT ] T^v ] ] T^v 7 ; Trfvî
Hn\ ncos[n, n) -^ — h /i, cos(n, n,) -i — h /i3C0s(/i, n,) -7— I dff,
N '■ ""xi A Fa ^ T^v 7 ] 7d\ ; ] ;rfvï
^ ' ' H.yi, I yi,C0S(/l,,/l) — H- /l,COS(/l,,n,) -1 h/laCOS(/l„/l,)-T- I
ddi
Hî/ij //îCOs(/i„/i) --7- H-yi,cos(/i„/i,)^-f-yi,cos(/i„/i,)^ I
528 LIVRK 11. — RBCriOlf II. — CHAPITBB Tll.
Sx^tème rectangulaire» — Si le système est rectangulaire, les équations deviennent
rfo" d(Tx dvi
rfV ~"rf\r — "rfv"
ou bien
H'//p Hyp. H;c/p, rfV ~" rfV "~ rfV *
dçi dpi dpi
Système rectiligne orthogonal.
dx dv dz
dx rfr dz
Si la surface V = Cest une des surfaces coordonnées^ t)
faut poser
les équations (i) deviennent
rfo" -k- d<Tx COS9, -4- rfg-a ces 9, //(T, -h ^/o"» rOSO -f- dfT TOSOi
dfT2 -+- d<T COSO, -+- f/o", COS9
lesquelles concordent avec celles que nous avons trouvées dans le Chapitre précédent.
331. Appligation. — Problème IL — Trajectoires orthogonales d'une série de sphères passant par un cercle donné.
Première solution, — L'équation de ces sphères dans le système cartésien est
dans laquelle / est le paramètre variable. Si l'on écrit cette équation sous la forme
(V) y='\±y\±^LrJ:=Y,
DBS TRAIBGTOlItBS D*UNB StRIB DB SOIFAGBS. Sig
les équations de la trajectoire sont, d*après les formules du numéro précédent,
(i) y*dx — xdx=^Oy nxzdz — [z*— (/» H- jr» -f- 6»)] cir = o.
L'intégrale de la première est, en représentant par C la constante d'intégration,
laquelle démontre que la courbe cherchée est plane.
En portant la valeur de ^ donnée par cette équation dans la deuxième équation différentielle, on trouve
OLXzdz — (z^-^b^)dz , ^,. ,
dont l'intégrale est
équations d'une sphère qui a son centre sur Taxe des x et pour rayon une tangente menée du centre à la sphère (Y), ce qui montre, a posteriori, que les sphères (3) sont orthogo* nales des sphères (Y). Si, dans l'équation (3), on fait âr = o, on a
on a donc un cercle imaginaire. Ainsi, lorsque les sphères proposées (Y) passent par un cercle réel, les sphères (3) passent par un cercle fixe imaginaire, et réciproquement.
Donc les trajectoires orthogonales des sphères (Y) sont la série des cercles obtenus par l'intersection des sphères [3] avec un plan (a) qui passe par l'axe du cercle commun à toutes les sphères (Y).
Si l'on suppose b nul, les sphères de la série (Y) sont toutes tangentes entre elles et au plan des xjr^ qui peut être considéré comme la sphère de la série (Y), dont le rayon est infini; mais alors les sphères de la série (3) sont aussi toutes tangentes entre elles et au plan des s/, de sorte que les trajec-
53o Lnrai ii. — sbctiom h. — «AmBs tu*
toires orthogonales de la série (V) soot des cercles tançests entre eux en un même point.
332. Deuxième solution. — Les lignes orthogonales d'ace série de plans passant par une droite donnée sont des cerele> qui ont cette droite pour axe commun de révolution. SoiiU série de ces plans ayant une parallèle à l'axe des z pour Intersection commune; leur équation sera
y étant le paramètre variable. Les équations des trajectoires seront, yx et y* étant les constantes d'intégration,
(2î) «»-»-^r'-h (x — «)»=yî, z = yt%
yx est le rayon variable des sphères.
Transformons la figure par rayons vecteurs réciproques. Les formules de transformation, par rapport au centre de transformation placé à Torigine des coordonnées, sont
x' ^'y'^lp'^ j?»"-+-/' H- -s'» ~ r'»
les accents se rapportant an point transformé, m étant une constante et r, r' les distances d'un point et de son transformé à l'origine.
Les équations (i] et (2) deviendront
' \ a^—y]J (a» — yî)» ' m-
Or la première représente une série de sphères qui ont pour intersection commune un cercle situé dans le plan des zx
tangent, à l'origine, à Taxe des z et ayant pour rayon — > ei
les équations (2] une série de cercles dont les plans passent par Taxe du cercle précédent, dont les centres sont situés
DES TRAJECTOIRES d'uNR 8£RIR DR SURFACES. 53l
dans le plan des zx et ayant pour rayon la tangente menée du centre à Tune des sphères de (i)'.
Donc cette solution concorde avec celle que nous venons de trouver.
Il serait d'ailleurs facile de vérifier ces résultats par la Géométrie élémentaire.
333. PROBLftHB III. — Trouver le$ trajectoires orthogonales d'une série d'ellipsoïdes semblables, semblablement placés et ayant une section commune parallèle à une section princi^ pale.
L*équatlon de la série d*ellîpsoTdes remplissant les conditions de la question est
z La' o* c' J
X étant le paramètre variable. En effet chaque ellipsoïde passe par l'intersection du plan des xy avec Tellipsoîde, qui a pour équation le second facteur de F égalé à zéro; et, de plus, les demi-axes X, '^, 3 sont dans un rapport constant, puisque l'on a
, . ,1 A. If!» C ^ ' ' a 0 c
Les équations différentielles de la trajectoire sont
, dx . , dr
ixdz o.(z— y)z \x^ j* [z — y)'
a^zdx &£"
Dans la première , les variables étant séparées, on obtient rintégrale
C étant une constante arbitraire. Cette équation prouve que la courbe est située sur un cylindre parabolique dont les génératrices sont parallèles à l'axe des z. Si l'on porte cette va-
53a LIVRK II. — SBCTION II. -- CHAPITIB TU.
leur de y dans la deuxième équation, on trouve, réductions faites,
Or, si l'on pose ^' — y» -h c» = w, cette équation devient
dit u X C'x *•
a^dx c^x a* 6*
laquelle est une équation linéaire du premier ordre. On Tintègre complètement et Ton trouve» en représentant par C^ la nouvelle constante arbitraire et en remplaçant u par Téqua* tion, la valeur, après intégration,
art»
S» — y»-hc« X* O x^' r., .
h ' 7 îT" -»- irii 1 r —C\x^* = o.
que l'on peut écrire sous la forme suivante :
j-.-Cî:r-^=o.
Si l'on pose on a l'équation
Discussion. — i<> Si y == c, la série des ellipsoïdes (F) esi tangente au plan des xy et devient
x^ r* (z — cV
la première des équations de la trajectoire n'est pas modifiée.
DBS TBAJBCTOIRES D*UNB SfillB BB SUHPAGBS. 533
tandis que l'équation (2] devient
on a donc les trajectoires orthogonales d'une série d'ellipsoTdes semblables et semblablement placés, ayant un point commun de contact en un de leurs sommets.
a"* Si Ton suppose a égal à by la série (F) représente des ellipsoïdes de révolution semblables entre eux et passant par un cercle donné, et l'équation (F) devient
l'équation (i) devient celle d'un plan passant par Taxe de révolution» et l'équation (a) prend la forme
La trajectoire est donc une courbe plane située dans le plan méridien des ellipsoïdes donnés.
3"* Si» dans l'équation (F)» on suppose b égal à c, on a une série d'ellipsoïdes de révolution autour d'un axe parallèle à l'axe des x^ semblables entre eux et passant par une ellipse dont le plan est parallèle à l'axe de révolution» et cette équation devient
réquation (1) n'est pas modifiée» tandis que l'équation (2) prend la forme
2' -h r* — y* — lî' X* ^ . ^*
Si l'on suppose a égal à c» les axes de révolution des ellipsoïdes (F) sont parallèles à l'axe des /» et l'équation (F) devient
534 LITRE 11. — SBCTIOlf 11. — CHAriTRB TH.
réquation (i) n*esl pas modifiée, tandis que réquailon s représente aussi une série d'ellipsoïdes de révolution autour d'un axe parallèle à l'axe des j et dont l'équation est
on a donc la solution de ce nouveau problème.
PaoBLÈiB IV. — Une série d'elUpsoEdes semblables et sem-hlahlement placés sont de révolution autour d'axes parallèles différents; ces ellipsoïdes ont une section commune dont le plan est parallèle à ces axes de révolution; trouver les courbes qui coupent orthogonalement cette série d' ellipsoïdes •
4* Enfin supposons les demi-axes a^ b, c égaux entre eux ; on a une série de sphères qui ont une section conioaune et qui ont pour équation
^ i ^ i = lz;
a l'équation (i) devient
et l'équation (a) prend la forme
z^ -f- A-' -f-/» -+- fl» — y» = A,x.
Les trajectoires orthogonales s'obtiennent donc en menant un plan par l'axe perpendiculaire au plan de la section commune des sphères de la série donnée» et en menant par les différents points de la ligne d'Intersection de ces deux plans des cercles ayant pour rayons les tangentes menées de ces points à une des sphères données (331).
33i. Problèue V. — Trajectoire orthogonale d'une série de plans ayant même intersection.
Soit donc l'équation des plans , , 2 -h mx -4- //K-h p
DES TMAJBGTOUBS D*U1«B SÊR» DB 841BPACK8. 535
flc élanl le paramètre variable; les équations de la trajectoire
sont
dx
dy
(4— /*)«—[ 6m — na]x'^[bp — ne]
dz
— [a — m]x — [b — n)jr — [c — p]
Or, si Ton multiplie les deux termes de la première fraction par (6 — w), ceux de la seconde par [m --a) et les deux termes de la troisième par [an — /n6], et qu'on ajoute terme à terme les fractions résultantes^ on obtiendra une quatrième fraction égale aux précédentes, dont le dénominateur sera identiquement nul; on devra donc égaler à zéro le numéra^ leur, ce qui fournit l'équation
[b — n]dx -^ [a — m)</r — [mb — an)dz=: o, laquelle» étant intégrée, donne la relation
(2) l^b — n)x^ [a-— rn)y^ [mb — an) 2 = Ct,
C» étant la constante d'intégration. On voit donc que la trajectoire chercliée est plane et que son plan est perpendiculaire à l'intersection commune de tous les plans donnés par l'équa* lion(i).
Soient maintenant A, B, C trois indéterminées; multiplions les deux termes de chaque fraction respectivement par jt — A, ^— B, s — C, et ajoutons les fractions résultantes terme à terme; le numérateur de la nouvelle fraction sera
(or— A)rfx -t- (7— Bj/Zj-f- (2 — Cjrfz,
et le dénominateur, par une détermination convenable des quantités A, B, C, sera identiquement nul. £n effet les termes du second degré se détruiront deux à deux. Si l'on égale à zéro les coefficients des termes du premier degré et le coeffi-
536 LIVRB II. — SBCTlOlf If. — CHAPITRE YII.
cient tout connu, on aura les quatre équations suivanles :
[bm — na)B-i-(m — a)C-Hû/?— /nc=o, [bm — na)AH- (n — ft )C -r 6/?— ne =o,
{mc — ap)A-h [nc—bp)B'-h (c — /i)C = o;
or les trois premières se réduisent a deux, parce que Vuoe quelconque est la conséquence des deux autres. Il suffit, pour le voir» d'éliminer A entre les deux dernières, et Ton retombe identiquement sur la première; de là résulte que Ton a trois équations propres à déterminer les quantités A, B, C Le dénominateur étant identiquement nul, il faut égaler le numérateur à zéro. On a ainsi une différentielle exacte, dont /'intégrale, en représentant par C] la consunte arbitraire, est
l'équation de la sphère
dont le centre est situé sur Tintersectton des plans donnés. On obtient donc une série de cercles dont cette intersection est l'axe commun.
Deuxième solution. — Dans le système polaire, les coordonnées sont : des sphères ayant leur centre à l'origine et ayant un rayon variable r; une série de plans passant par l'axe des z et formant un angle variable 9 avec le plan des zx; une série de cônes ayant leur centre à Forigine et pour axe Taxe des z et formant avec cet axe un angle ^ variable. On a donc les trois arcs coordonnés élémentaires
rfo" = rfr, c/o", = rd^f rfo-j = rsin 4* d6,
et conséquemment
H. = 1, Hi = r, H, = rsln^.
Le plan de la question est
C étant le paramètre variable. D'après cela, si l'on a recours
DBS TRAJECTOIRES D*UNB StllB DB SUBFACBS. 537
aux formules du n*' 330, les équations de la trajectoire sont
et conséquemment
Ces deux équations sont l'équation d'une série de cercles dont l'axe commun coïncide avec Taxe des z.
