Système polaire
1° Trajectoires orthogonales de la surface (o) r=Ce**, Cet m étant des constantes, — Celte surface est engendrée par le mouvement d'un cercle variable qui tourne autour d'un de ses diamètres et qui passe par un point d'une spirale logarithmique dont le plan est perpendiculaire à Taxe. Les intersections de cette surface avec les cônes coordonnés forment un angle constant avec les génératrices de tous ces cônes.
Regardons G comme paramètre variable : on a une série de surfaces coupant un même cône déterminé, de telle sorte que les intersections forment le même angle avec la même génératrice; les équations différentielles de la trajectoire orthogonale sont
d^ __ ï^sSïi^^dB dr
les intégrales
§in«C^ j
vp=:C„ r=C,e '^ =Ca«"i*
représentent une courbe donnée par l'intersection d'un cône
et d'une surface de même espèce que la surface donnée,
mais telle que le paramétre m, est lié avec le paramètre m
par la relation
— . inim = sin'Ci.
Si l'on regarde m comme variable, on a la série de surfaces de l'espèce (o) coupant un même cône, de telle sorte que les intersections forment tous les angles constants possibles avec une même génératrice. Dans ce cas, les équations diflé*
538 LIVRE 11. — 9BGTI091 II. — GHAPlTRK VU.
reniielles sont
rd dr r^d^ r* sin' d/ dB I o — l0KC~'r'
d'où
dr ^4^ = 0 el (logC-' r)— -f-sin»J/0rfe = o,
dont les intégrales sont
^ z= C, (logC-« ry 7h sin»C, Ô' = CJ,
qui représente l'intersection d'un cône avec la surface
r = Ce^*^*~*'**"'^* (surface limaçon).
2* Trajectoires orthogonales de la surface tang ^ ip «-^= C. •—Cette surface, qui est le cône loxodromique, coupe sous le même angle constant a tous les plans passant par Taxe des cônes coordonnés. Si Ton suppose C variable» on a tous les cônes loxodromiques» et il est évident que» si l'on cherche les trajectoires orthogonales de ces cônes» on trouvera une courbe donnée par les intersections d'une sphère de rayon constant avec une série de cônes loxodromiques coupant tous les plans passant par l'axe des cônes coordonnés sous un angle a complémentaire de l'angle a. Si l'on suppose m paramètre variable, on a la série des cônes loxodromiques coupant sous angles variables tous les plans passant par l'axe des cônes coordonnés. On écrit l'équation sous la forme
î logtangiv];
Les équations de la trajectoire sont
dont les intégrales sont, en représentant par Ci» Cs les constantes d'intégration,
r=C., tangi^^^Ce^^^^^',
de sorte* que les trajectoires orthogonales sont données par Piniersection de ce dernier cône avec les sphères de rayon C,.
BE9 TRAJBGTOIRBS d'uKB SÉBIB BB SURPACBS. 539
3° Trajectoires des surfaces dont l'équation esi^ Ci étant U paramètre variable^
Les équations de la trajecioire sont
dr r'd^ r^sW^dB
dont les intégrales sont, Ci et d étant les constantes d'Intégration,
r dr r rf+
r d^ C dB ^
Jsin-^+/'(+) Jne)-'^'
Si l'équation proposée avait la forme linéaire suivante» a et b étant des constantes,
r — aô— b^ = C,
la trajectoire serait représentée par les équations
6 = r(vj;— vpa), acot4^ = ft(9.— Ô),
dans lesquelles ^^ et d« sont les constantes d'intégration. 4** Trajectoires des surfaces données par Inéquation
Ce cas ne rentre pas dans le précédent, parce que C est main* tenant le paramètre variable. Les équations différentielles de la trajectoire orthogonale sont
de=-!^% ^=.^d^{0^^); sin^u^ r ^^ ^
or Tintégrale de la première est
COI ^j; = 9, — 6 ;
par suite, la seconde devient
dr
— = -- d^ {O9 -^ ^ -- coi^) d^f
54o LIVRE II. -— SECTION II. — CHAPITRE TH.
dont l'Intégrale est
r sin4/ 0, et Ci étant les constantes d'intégration.
§ IL ^ Des trajectoires conidguées d'dnb sêrib db surfaces
SIIIYAMT UN ellipsoïde.
336. Équations différentielles. — Soit Téquation de la série de surfaces données dans le système cartésien
p étant un paramètre qui prend toutes les valeurs possibles: ils'agit dedéterminer»conformémenlà ladéGnition du n*>3ââ, les équations différentielles de cette surface suivant l'ellipsoïde dont les demi-axes sont A» B, C.
Si Ton raisonne comme on le fait dans ce numéro, on trouvera que les équations différentielles de. cette trajectoire
sont
dF dF d¥
(il — :=!!!. ^ ^.
^ dx dy dz'
A» BF l?
Applications. — I. Trajectoires conjuguées suivant l'ellip^ solde (A, B, C) d'une série d' ellipsoïdes semblables, semblablement placés et concentriques.
L'équation F devient, dans le cas présent,
les équations (i) deviendront
, . a^ dx 6* <// c^ dz
^'^ A'IT""" b"' 7"""C' T'
dont les intégrales sont
DBS TBAJBGT01RI8 D*01IB SÉBIB OB SUEFACE8. 54 1
en posant
fl' b^ f^
px et ps étant des constantes arbitraires. Ces équations représentent deux cylindres paraboliques de degré supérieur, e^ la trajectoire cherchée est donnée par l'intersection de ces deux cylindres lorsque les deux paramètres p. et pt pren* nent toutes les valeurs possibles.
Si les deux ellipsoïdes [a^ b, c), (A» B, C] sont semblables, les équations (2] représentent une série de droites passant par le centre de l'ellipsoïde.
On déduit facilement de la forme des équations (i)' les deux théorèmes suivants :
I® Les trajectoires orthogonales d*une série d'ellipsoïdes concentriques semblables et semblablement placés^ dont les
demi^ixes seront proportionnels à -i^-^y p9 sont les trajectoires conjuguées suivant (A, B, C) d'une série d'ellipsoïdes concentriques, semblables et semblablement placés, dont les demi-axes sont proportionnels à a^ b, c.
2^ Les trajectoires orthogonales d'une série d'ellipsoïdes homothétiques ( t' û' p ) '^^^ conjuguées suivant l'ellipsoïde (Ây B, C) d'une série de sphères concentriques.
Cela résulte du théorème précédent, dans lequel on fait a = 6 = c.
II. Trajectoires conjuguées, suivant l'ellipsoïde (A^ByC}, d'une série de surfaces données par l'équation
Les équations différentielles sont
xdx'^^ydjr zdz
A' a'"" Wb^'" Ul?'
et les équations de la trajectoire, pi et p? étant des paramètres
54^ LIVRR II. — SBCTIOlf If. — CHAPITIB TH.
variables,
qui représentent deux cylindres hyperboliques.
On obtiendra sans difficulté des théorèmes analogues aai précédents.
337. Applications (suite).— III. Trajectoires conjuguées suivant ( A, B, C) d*une série d* ellipsoïdes semblableSj semblablement placés et ayant une section commune parallèle à utu section principale.
L*équation F est
si Ton pose, pour abréger,
les équations de la trajectoire sont
a^dx &*dr î— ^ = o,
nxdz 2(2 — y) I rjc' jr* (-S — y)'
-2» La* 6* c* J
a*zdx c'z^ z
La première donne, en représentant par p. la constante arbitraire, rintégrale suivante :
(a)' jr=p^x>\
En portant cette valeur de y dans la seconde et en posant,
pour abréger,
on obtient l'équation différentielle
du u X ù\ '*h7^ <,>
a'c/o: c'a: a' 6' qui est linéaire du premier ordre» et qui s*intègre Immédla-
BBS TEAjaCTOItlS d'uNK SÊRIB DE S0EFACB8. 543
temenl. Si Ton représente par pt la coi^sunte d'intégration, on trouve
et, si l'on élimine p. entre cette équation et celle qu'on a déjà trouvée, on obtient l'équation
Les équations (2)' et (3)' sont les équations des trajectoires cherchées. Ces équations donnent lieu :
I** A des théorèmes analogues à ceux du numéro précédent, qui expriment des propriétés intéressantes des trajectoires que nous considérons;
2^ A une discussion analogue à celle que nous avons faite au n* 333.
§ III. — Des TEAJBCTOIEE8 DE PLUSIBUES SfiEIES DE SUEFACES
