DONNÉES

On se propose, dans ce paragraphe, de déterminer des courbes par cette condition qu'en traversant plusieurs systèmes de surfaces, l'élément de la courbe forme en chaque point, avec les normales aux surfaces de ces systèmes, des angles donnés, ou satisfaisant à des relations données.

338. Jongle d'une trajectoire ds avec la normale à une sur^ face V z=c, rapportée à des coordonnées quelconques^ — SI Ton se reporte a l'équation ((3) du n^ 306, qu'on élève au carré les membres de ces équations et qu'on ajoute, on aura la relation suivante :

A fT o ^' V «fU' , , \^dV dV, . , .

^•"' S5^=25pr*''^^25^5^**'^*'"'^-

On appelle paramètre différentiel du premier ordre de la fonction U la racine carrée de la somme des carrés des dérî-

544 LITRE If. — SRCTIOlf II. — CHAPITBB Vil.

vées de U par rapport aux trois axes des Xyyy z, et on le représente par A,U; or les équations (i8)' et (i8)* du numéro ciie prouvent : i*" que U», Ui, Us sont les composantes orthogonalei, suivant les normales n, ni, /», des surraces coordonnées p, p , psde A,Uy dont les composantes obliques suivant ces noi-

. rfU ' rfU . rfO ^ rfU du rfU

maies sont A -t-> A» -t- ? A, -r- ; 2* que tt^"* ,■ » > „ ,

dp ap, dpt ^ Uflfp Uiap, Hsas,

sont les composantes orthogonales suivant les arcs «/a, d^^, d(Ti de Ai U, dont les composantes obliques suivant les mêmes arcs sont H AU,, H,A,U|, H,A,U,. Ce point rappelé, pour projeter A,U sur ds, il suflit de projeter les composantes suivant les normales 3ur la direction de ds; on aura donc

l A, UcosfX, rf5)== A -7- cosfn, ds) -+- A, -j- cos (n„ds ) dp dp,

-h ht-j- cos [ntyds).

apt

Or les cosinus des angles (n, ds)^ (n,, ds), (n,, ds) sont donnés par les cosinus des angles a, by c de la formule du n^^SâS, que nous pouvons écrire sous la forme suivante :

(a) ds cos (n, ds) = l AH (rfa) cos ([ji], n), (3)

avec la condition

(rf(T) = 2rf(TCOs([rfo'], rfo-). (3)

On aurait également pu projeter les composantes obliques de ds suivant les arcs coordonnés sur la direction de AdJ, ce qui donne la relation

j rf* cos(rf*, X) = rfîrcos(rf(y, X) -+-rfo'icos(rfor„3^)

^^^ ( -4-rf(T,COS(rf0-a, X).

339. Courbes bissectrices de deux séries de surfaces. — Ces courbes coupent les deux séries de surfaces, de telle sorte qu'en un point l'élément de la courbe forme avec les normales aux suifaces des angles égaux, situés dans le plan des deux normales.

DBS TftAJBGTOIRBS d'uNB SfiRlB DB SCRPaCBS. 545

Soient les équations des deux surfaces

c et Cl étant les paramètres variables; l'une des équations différentielles des courbes bissectrices sera

C0S(3î;>, ds)±COS (X,,rf*)=:0,

et, en ayant égard à l'équation (i) du numéro précédent et à celle qui en résulte pour la surface c„ on aura la relation

dans laquelle il faudra substituer les valeurs des cosinus des angles [n^ ds)^ (/ii, ds)^ (/h, ds) donnés par l'équation (a).

Si le système des coordonnées est orthogonal, la relation précédente deviendra

/ ^U dV, \ d(7 ( d{] /Ml \/ ^

\^,Vdp A.U.rfp/ ds "*" \A.Urfp. A^U.rfp.j ' ds

U.Urfp. A.U.rfpJ ^'rf/""^'

avec les conditions

Pour trouver la seconde équation, 11 faudra écrire la condition que l'élément de courbe est situé dans le plan des deux

normales

(N,N.) = (N,rf*)-f-(N.,&).

ÂPPUCATI0I9S. — 1° Courbes bissectrices d'une série de plans passant par une droite et d'une série de cônes ayant la même droite pour axe. (Système polaire, p, 6, y\f).

La première condition donne l'équation

sm^^

546 LITBK II. — SBCT. II. — GBAP« Tli. — DBS TEAJBCTOlftlS, nc

el la seconde condition donne Téquation

dpz=o;

on a donc les équations

2** Courbes bineclrices d'une série de sphères concentrique ei d'une série de plans ayant une interseclion commune puisant par le centre des sphères.

On a les deux conditions

dp=:zt psin^ dO, dt\t = o; les intégrales sont

3* Courbes bissectrices d'une série de sphères et d'une série de cônes concentriques.

On a les équations différentielles

rfp=dbprf4'> d6 = o, dont les intégrales sont

p = i;c=*=+, 6= Cl.

4° Courbes bissectrices d'une double série de surfaces de révolution du second degré homofocales.

Si Ton se porte au n"" 388, on a à intégrer les équations

V/x» — b^ \lb^ — V»

les intégrales sont» en posant i/ = arc ( sin = ^ j >

DBS SURFACES COUPANT UNB StRIR DR SURFACRS. 547