UNE SÉRIE DE SURFACES
Le présent Chapitre semblerait » à cause de son titre, ne devoir pas faire partie d'un Ouvrage écrit sur Tanalyse des courbes, et pourtant, quand on y regarde de près, il est tellement lié avec la recherche des lignes orthogonales de surfaces données, qu'il devient le complément indispensable de cette recherche, ne forme avec elle qu'un même tout, et que, lorsque cette recherche est accomplie, le problème des surfaces orthogonales d'une série de surfaces données est Analement résolu. Il nous importe donc de signaler la liaison qui existe entre ces deux problèmes et de montrer comment on peut résoudre le second lorsque le premier est résolu.
§ I. — Des SURFACES orthouonalbs d'une série de surfaces.
340. pR0BLÈ3fE I. — Connaissant les trajectoires orthogonales d'une série de surfaces données, trouver les équations des surfaces qui coupent orthogonale ment cette même série de surfaces.
Soit la série de surfaces données représentées par l'équation
dans laquelle p, pi, pi sont des coordonnées quelconques, et C le paramètre variable; soient les équations de la courbe qui coupe orthogonaicment cette série
fi(p»Pi>Pi) = C,, Fïtp, p.,pa) = C„
548 LITRE II. — SBCTlOlf II. — CHÂPITmB TIII.
dans lesquelles on donnera à Ct et G louies les valeurs possibles* A chaque système de valeurs de C. et de Cs correspondra une courbe coupant orthogonalement les surfaces de la série F. Lorsque ces systèmes de valeurs seront discontinus, on aura des courbes orthogonales dont les position^ seront discontinues, et réciproquement: mais, si Ton reui que ces courbes se suivent d'une manière continue, de manière à former une surface, les valeurs de Ct et de Cs ne doivent pas être indépendantes l'une de l'autre; il faut que Tune des constantes, d, soit fonction continue de l'autre constante, de telle sorte que l'on ait
et, conséquemment, on a
Je dis maintenant que cette équation représente une surface coupant orthogonalement la série des surfaces F. En effet, le plan tangent à la première surface passe par la tangente à la trajectoire orthogonale dans la position qui convient au point que Ton considère; or cette tangente est normale à la surface F, puisque la trajectoire est orthogonale; donc cette surface est orthogonale de la surface F.
EnQn, si l'on veut que l'équation (3) représente toutes les surfaces possibles, il n'y a qu'à supposer que la fonction o représente toutes les fonctions possibles, ce qui revient à dire qu'elle est une fonction arbitraire.
Donc, pour avoir toutes les surfaces qui coupent orthogonalement la série des surfaces F quand on connaît les équations (2] de la courbe orthogonale, il suffît d'exprimer que la fonction Fi est une fonction arbitraire de la fonction F,.
3^1. Applications. — Surfaces cylindriques.
i"* Les trajectoires orthogonales de la série des plans parallèles au plan des xy (système rectiligne orthogonal), qui ont pour équation
DBS 8URFAGB9 COUPANT UMB SftRIB DB SUEFAGBS. 549
sont données par les équations suivantes, dans lesquelles pi et p3 prennent toutes les valeurs possibles :
(2)' ar=p„ / = p,;
donc la forme la plus générale des surfaces cylindriques qui coupent orthogonalement les plans parallèles au plan des xy est
2^ Soit la série des plans parallèles, dans le même système» donnée par l'équation
(i)" arcosa -H jcosjî -*- 2 cosy = p;
les équations de la trajectoire orthogonale sont
, .„ rosa cosû
^ ' cosy ^ " cosy ^
donc l'équation de la surface cylindrique perpendiculaire au
plan (1)'' sera ^
cosô / rosa \
cosy ^\ cosy /
Surfaces coniques. — Ce sont les surfaces qui coupent or* thogonalement une sphère donnée.
1** Soit l'équation de cette sphère, dont le centre coïncide avec le pôle du système polaire (p, 0, vp),
l'équation de la trajectoire orthogonale, dans le même système, est
donc l'équation de la surface conique sera
2'' Si la sphère est rapportée au système cartésien, son équation est, en représentant par a, (3, y les coordonnées du
centre,
(^ - a)' -h ( jr - (3)' -+- (z - yY = C;
âSo LIVRK II. — SKCTIOtf II. — CHAPITIIK V|||.
les équations de la trajectoire orthogonale sont
— — — — — \^|. — — — — — \jij
donc réquation des surfaces coniques sera
342. Surfaces de révolution, — Ce sont les surfaces qui coupent orthogonalemeni tous les plans qui ont la même intersection.
i^ Dans le système polaire, ces plans ont pour équation
les équations de la trajectoire orthogonale sont (334)
+ =C„ p = Cs; donc l'équation des surfaces de révolution est
a^ Si l'équation des plans est prise dans le système cartésien, on a réquation (i) du n"* 334; les équations des trajectoires orthogonales sont les équations (2) et (3) ou même numéro; donc les équations de la surface de révolution sont
(b — n)x '— (a — ni)r -^ (an ■— bm) z = cp[(x - A)» -h (/ - B)« H- [z - C)»],
en admettant entre les constantes les relations établies dans
ce numéro.
Surfaces coupant orthogonalemeni une série d'ellipsoïdes semblables, semblablement placés et concentriques. — Ces surfaces sont représentées par l'équation F du n"* 336; or, si l'on se reporte à ce numéro et qu'on suppose Telllpsoïde de comparaison transformé en sphère, les trajectoires conjuguées, lepréseniées par les équations (2), deviennenl, p, et p, élani des constantes d'intégration.
BBS 90RPÂCBB COUPANT UNB StftIB DB SORFACBS. 55 1
et sont des trajectoires orthogonales de la série F; on aura donc l'équation suivante pour représenter les surfaces coupant orthogonalement la série F :
343. Surfaces coupant orthogonalement une série d'ellip^ soXdes semblablesy semblahlement placés et ayant une section commune parallèle à une section principale* — L'équation (F) du n"" 333 représente cette série d'ellipsoïdes, et les équations (i) et (2) de ce numéro sont les équations des trajectoires orthogonales; donc l'équation des surfaces coupant orthogonalement la série des surfaces (F) sera
Cette équation est susceptible d'une discussion analogue à celle du n® 333 , et l'on obtient ainsi les surfaces coupant orthogonalement :
I® Une série d^'ellipsoTdes semblables et semblahlement placés 9 ayant un point commun de contact en un de leurs sommets;
2<> Une série d'ellipsoTdes de révolution semblables entre eux et passant par un cercle donné;
3^ Une série d*ellipsoTdes semblables et semblahlement placés» de révolution autour d'axes différents parallèles, et ayant une section commune dont le plan est parallèle à l'axe de révolution;
4** Une série de sphères ayant une section commune. Dans ce dernier cas, l'équation précédente contient le système connu, triplement orthogonal, de trois séries de sphères tan* génies, à trois plans orthogonaux deux à deux et passant par leur point d'intersection.
344. Surfaces orthogonales d'une des trois séries d'un systènie triplement orthogonal, — Soit un système de coordonnées p, pi, p3 triplement orthogonal ; les trois séries de surfaces sont, en représentant par C, Ct, C2 des constantes qui prennent
552 LIVRE II. — SVCTIOH II. — GUAPITRE TIII.
toutes les valeurs possibles,
elles sont telles que chacune d'elles est coupée orthogonalement par rinterseclion des deux autres; donc, d'après It n^ 340, les surfaces coupant orthogonalement Tune des trois séries (i), en représentant par 9» 91, 9, des foDCtions arbitrairesy seront
APPLICATIONS. — I** S/stème polaire (r, ^,0). On a les trois surfaces orthogonales
donc les trois séries de surfaces coupant respectivement, sous angles droits, les séries précédentes de surfaces sont représentées par les équations
La première représente les surfaces orthogonales d'une série de sphères concentriques; la deuxième, les surfaces orthogonales d'une série de cônes circulaires concentriques ayant même axe; la troisième, les surfaces orthogonales d'une série de plans ayant une même intersection (34^1).
2* SystP.me formé : d'une série de plans tangents à un çrlindre, d'une série de plans perpendiculaires à la direction des génératrices, d'une série de surfaces déi^eloppantes du cjrlindre. — Soient l'équation élémentaire de la section droite du cylindre
dp la distance entre deux développantes infiniment voisines; dz la distance entre deux plans infiniment voisins perpendiculaires aux génératrices du cylindre; le système est rectangulaire, et, en représentant par ds le déplacement d'un point dans ce système et par r la longueur de la tangente à la section droite, on a la relation
ds^ = dz^ 4- dp^ -¥■ r^deK
DES S0RFACB8 COUPANT UMB SfiRIB PB SUIFACBS. 553
Les équations des trois surfaces sont
donc les équations des trois surfaces, coupant orthogonalement les surfaces (i) chacune à chacune, sont
La première représente les surfaces orthogonales des plans tangents à la surface cylindrique; la deuxième, celles qui cou* pent orthogonalement les surfaces développantes du cylindre; la troisième, celles qui coupent orthogonalement les plans perpendiculaires aux génératrices, lesquelles sont des cylindres ayant leurs génératrices parallèles aux génératrices du cylindre donné.
Si le cylindre, au lieu d'âtre quelconque, était circulaire [fig. ^o) et de rayon R, on aurait les relations suivantes :
<T= Re, AOM = e -4- arctang^r»
de sorte que, si l'on appelle p la distance OM, les trois sur-
Fîg. 4o.
faces (2]'' deviendront, dans le système cylindrique polaire, en appelant 6 Tangle AOM,
z = 9 v^p*--R»4-R(9 — arccos — I U
6=:arccos — hçi(z), 0 — arccos- = 9i(^p*— R')* P P
^i/ Surfaces coupant orthogonalement les surfaces d'une des séries (2). — Soit une surface contenue dans la première
554 LIYIIB II. — SECTION II. — GBAPITES ¥111.
des équations (2) du numéro précédent
Cl étant une constante qui prend toutes les valeurs possibles. D'après ce que nous venons d'établir dans ce numéro» nous connaissons une série de surfaces coupant orthogonalemeni la série (3); celte série est
Nous connaissons donc une des équations de la trajectoire orthogonale de la série (3); l'autre équation sera donnée, d'après le n® 330, par l'intégration de l'équation difîérentielle
Dîrfp. Hrrfp,
[dpj [flpj
entre les deux variables pi et p,, puisque p est constant. Représentons par
l'intégrale de celle équation, d étant une constante arbitraire; les surfaces orthogonales des surfaces (3) seront représentées par réqualion
(6) F,(p.,p,)^cp(p), 9 étant une fonction arbitraire.
Applications. -— Système polaire (p, 4*» ^)-
Surfaces coupant sous angles constants une série de plans ayant une intersection commune et une série de cônes concentriques ayant même axe.— La première série de surfaces satisfaisant aux conditions de la question est
et la deuxième série, en représentant par m une constante, est
pd^ m 'm
