DES SURFACES COUPANT UNE SÉRIE DE SURFACES
dont rintégrale est
(C.) langi+=:C,e-*.
Les surfaces cherchées sont donc représentées par l'équation
p — ©(^-"••tangï^l^).
Ces surfaces sont engendrées par le déplacement continu d'une loxodromie tracée sur une sphère dont le rayon varie d'une manière continue.
Surfaces coupant sous angles constants une série de sphères concentriques et une série de plans ayant un axe commun^ — La première série de surfaces est
et la seconde est, en représentant par m une constante,
rfpr- mpsinCrf^.
Si Ton pose msinC = fx, l'intégrale de cette équation est
et, par conséquent, l'équation des surfaces cherchées est
Surfaces coupant sous des angles constants une série de sphères et une série de cônes concentriques, — La première série de surfaces est
(cr ô-^c,
et la secondé est, en représentant par m une constante,
rfp -■=: mpd^, dont l'intégrale est
(C.r p^Ce"*;
donc l'équation des surfaces cherchées sera
Dans chacun de ces trois cas, les équations en C et Ci représentent une courbe coupant les courbes coordonnées d'un
556 LIYBB II. — SBCTIOH II. — GflAPlTBI Tllf.
système sous angles droits et les deux autres coordonnées sous angles constants.
Système cylindrique homofocal.
Surfaces coupant sous angles constants chacune des deux séries de cylindres homofocaux du second degré, — Si Ton se reporte au n''288, on a à intégrer les deux équations
dp = o, -— ^ =
dv m
sjlû — 6« V^ —
les intégrales sont
p — C, p-+- v^fx'— 6'— C,ô
marc(sln=j)^
donc la surface cherchée sera donnée par Téquation
I , . maro(stn=^) i fc* — inarc(8la = ~)
a— -ope ^ *^H p-.e ^ ^\
3^6. Méthode directe de détermination des surfaces orthogonales. — Lorsque Ton détermine directement par l'analyse les surfaces orthogonales d'une surface donnée, on a a intégrer une équation aux différences partielles. Or celte méthode, en apparence distincte de celle que nous avons suivie, n'en diffère aucunement, et l'on a à intégrer les mêmes équations différentielles, comme cela résultera des considérations suivantes; seulement, par la méthode que nous avons suivie, nous avons rattaché le problème des surfaces orthogonales d'une surface donnée au problème des trajectoires orthogonales de la même surface, ce qui dispense de la considération de l'équation aux différences partielles et donne une interprétation géométrique à toutes les phases de la question.
Angle des normales N e/ X â deux surfaces données, — Soient ces deux surfaces
V et U étant des fonctions des coordonnées curvilignes p, pi, P2; C et Cl deux constantes.
Si l'on se reporte au n"" 338, qu'on représente par AiV le pa-
DBS SURFACES COUPANT U5B SfiRIB DE SURFACES. 557
ramèlre différentiel du premier ordre de la ToncUon V, et si Ton raisonne comme on l'a fait dans ce numéro, qu'on appelle V,, V„ Va les composantes orihogonales, suivant les normales n, /II, Hi des surfaces coordonnées p, p^ ps» de A,V, dont
^V les composantes obliques suivant ces normales sont h -r- 9
rfV rfV /i. T--5 ^» ^' *' suffira de projeter A|U sur la direction de A|V,
ce qui revient à projeter les composantes obliques du premier paramètre sur la direction du second; on a donc la condition
(2) A,Ucos(N, ^) = ^ 2A ^ V,,
où il faut remplacer V«, Vi, V, par leurs valeurs tirées des équations analogues aux équations (18)' du n^'SOG; on obtient ainsi l'équation
/ A,VA.Ucos(N,X)
(^)' ! vA^Vr.rfU , , , du , . .dV , ,1 i z=zzh-r- A-7-cos(n,n)-h/i, ^cos(n,/î,)-t-na-T-cos(n,n,) 1
Si le système des coordonnées est rectangulaire» les angles des normales aux surfaces coordonnées sont droits, et l'équation.précédente devient
(3) A,UA.Vcos(N,X)=^^^jL.
Condition d'orthogonalité de deux surfaces. — Si le système des coordonnées curvilignes est quelconque, la condition pour que deux surfaces V et U se coupent orihogonalement est exprimée par l'une des équations équivalentes
(4) 2A^V,= o, Ih^U.^zo.
Si le système des coordonnées est orthogonal, on a Téquaiion (t^\ \^ ï dW d\}
^^' 2ff7?p ^=^'
ei, si le système est rectiligne orthogonal, Téquation prccé-
558 LIVRB II. — SECTION II. — CHAPITRE flll*
dente se simpUfle et devient
gûTU dy^
dx dx
Identité analytique des deux méthodes. — Supposons maintenant que la surface V soit donnée et qu'on veuille calculer toutes les surfaces U qui la coupent orthogonalement ; on aura à intégrer l'équation aux différences partielles, donnée par l'équation (4); or, pour intégrer celte équation» on est conduit à l'intégration du système d'équations différentielles
dp rfpi rfpi
/TUo ~" àTD; ~ ÂôT/
qui est identiquement le même que le système des équations différentielles trouvées au n° 330; on est donc conduit à la recherche des courbes qui coupent orthogonalement la série des surfaces V, et les parties restantes des deux méthodes sont évidemment les mêmes. Donc :
§ II. — Des surfaces bissectrices de deux séries de surfaces.
3W. Surfaces bissectrices de deux surfaces données. — Ces surfaces coupent deux séries de surfaces données, U et V, de telle sorte que, en un point commun des trois surfaces, la normale à la surface cherchée forme des angles égaux avec les normales aux deux surfaces données. Il y a deux sortes de surfaces cherchées, suivant qu'il s'agit de l'angle des deux normales aux surfaces données ou de l'angle supplémentaire formé par l'une des deux normales et le prolongement de l'autre.
Dans le cas de coordonnées curvilignes quelconques, l'équulion aux différences partielles des surfaces bissectrices des deux surfaces (i) du numéro précédent devient, si Ton représente par W la surface cherchée,
BBS SURFACB8 COUPANT UNE SfiBIB DE SURFACES. 559
le signe supérieur se rapportant aux surfaces bissectrices de l'angle des normales positives et le signe inférieur aux sur-faces bissectrices de l'angle supplémentaire.
Si le système des coordonnées est orthogonal, l'équation précédente devient
Y I rfW / rfV ^U \ ^'^^ 2dH^ dp VA.Vrfp-^ A,Ue/py "^°'
Supposons que les deux surfaces données soient les deux surfaces coordonnées d*un système quelconque; il faudra poser» dans réquation (6), V=p,, U=p2, et cette équation deviendra
A,[irf:cos(/i,,/i)] , - •+■ /i[cos(/ii, /i)q::cos(n„ '*)]-^—
AT f ^ M ^W
-h ai [cos (n„ n) qp I )J -^ — = o.
Si le système des coordonnées était orthogonal, cette équation deviendrait binôme
, dW , rfW
/i, —. — qi Ai, -j — = o.
348. Surfacexbissectrices de deux séries de sphères à centres fixes. — Les deux surfaces U et V sont, dans le cas présent, en supposant le système des coordonnées rectilignes,
V = JT^ H- ^-^ -f- s' =r r;, u = o:' H- ^-^ H- ( 3 — y )' = rj ;
l'équation aux dilTérences partielles est
fx x\ dz f y ^\ dz z z — y
\r, rj (ix \r, "^ r,/ rtf/'~ r, "*~ r.
On déduit de cette équation le système suivant d'équations diiTérentielles :
X r/r — r dx , xdy — r dx
zdx — xdz , ( z — y ) dx — x dz /•, ;'2
:; dy — ydz [z — y) dy — ydz
56o LIVRE II. — SBCTIOff II. — CHAriTRB VIII.
Soient 0 l'angle que la projection commune r des rayons r„ r. sur le plan des j^* fait avec l'axe des .r ; ^ et i{/i les angles des rayons r,, r, avec l'axe des z. Cela posé, la première équation devient
dont l'intégrale est
Si l'on ajoute les deux dernières équations après avoir multiplié la première par x et la seconde par 7, on trouve
, [z — y] (xdx -4- rdy] — (x»-+- r*Wf z — yl
= Zt : : : ^
que l'on peut écrire sous la forme
r\d^ . rîd+.
Or le triangle dont les côtés sont y, r„ r, donne la relation
sinvj;, sinil'^
en ayant égard à cette valeur, l'équation différentielle précédente devient
sinv}; sin^
Suivant le cas du signe supérieur ou du signe inférieur» on a les équations suivantes :
donc les surfaces bissectrices sont données par le^deux équations
9 = 9(ung-;4'iangi+.). « = ?(^fr|.)'
suivant que l'on prend l'angle positif des deux normales aux sphères r,,.r3, ou l'angle supplémentaire de ces deux normales.
DBS 8UBFAGBS COUPANT UNK SfiRIB DB SURNAGES. 56l
Cette solution coïncide avec celle que nous avons donnée du problème traité à la fin du n^ 316.
La recherche des surfaces harmoniques par rapport à deux surfaces données se fait de la même manière^ en entendant par surfaces harmoniques de deux surfaces données celles dont les normales au point commun d'intersection forment avec les normales des deux surfaces données un faisceau harmonique.
§ III. — Des surfaces conjuguées entre elles suivant
