Surfaces conjuguées d'une surface donnée suivant un

ellipsoïde donné. — Deux séries de surfaces données par les

équations

sont dites conjuguées suivant un ellipsoïde donné (A, B, C) lorsque, en un point quelconque de Tintersection commune^ les plans tangents aux deux surfaces sont parallèles à deux plans diamétraux conjugués de Tellipsoïde.

Condition analytique qui exprime cette liaison, — Dans le système rectiligne orthogonal, si deux surfaces fsf se coupent orihogonalement, on a la condition

dz 8z d^ dz^

' ' dx àx dy àjr '

or, si Ton prend la figure homologique (322), on trouvera, A, B, C étant trois constantes qui représentent les trois demidiamètres conjugués d'une surface du second degré,

^ ' dx àx dy ir

Comme l'équation (i) exprimait que les deux surfaces/,/» avaient leurs plans tangents orthogonaux en leur intersection, il en résulte que l'équation (2) exprime que les plans tangents des deux surfaces transformées F, F, sont parallèles à

56^ LIVBB 11. — SECTION II. -~ CHAPITRE Vlll.

deux plans diamétraux de la surface (A, B, C) du second degré, transformée de la sphère.

Celte sphère, que j'appelle sphère de comparaison, avait son centre situé à Torigine des coordonnées, et les deux plans tangents aux surfaces/, /l étaient parallèles à deux pians diamétraux de cette sphère conjugués entre eux, puisque tout système quelconque de deux plans diamétraux rectangulaires est dans la sphère un système de deux plans conjugués.

Dans la figure transformée, les axes sont généralement obliques et parallèles aux directions des trois diamètres conjugués de la surface de comparaison ; mais on peut aussi les supposer rectangulaires, puisque, dans une surface du second degré, il y a un système de trois diamètres conjugués rectangulaires entre eux.

On a passé de l'équation (i) homogène à Téquation (2), en

, 111 dz dx dr ^ ^ ^ èz

y remplaçant az, dx, djr par -r? —9 -^5 ozy àxy ày par -^»

ix 8v

Remarques. — i* Il est évident que le problème des surfaces qui se coupent orthogonalement est un cas particulier du problème précédent, puisqu'il suffira de supposer que la surface du second degré de comparaison est une sphère. On passera donc facilement du premier problème au second, mais non réciproquement.

2° Un cas non moins intéressant se rapporte à la supposition d'après laquelle la surface de comparaison serait une surface de révolution. Dans une telle surface, il y a une direction constante suivant laquelle deux plans diamétraux ne sont conjugués que lorsqu'ils sont orthogonaux; donc, si les surfaces F et Ft se coupent et qu'on mène à la courbe d'intersection une tangente parallèle à cette direction, F et F, se couperont orthogonalement suivant cette direction.

3"^ Il y aura à examiner le cas où la surface de comparaison sera rapportée à trois diamètres conjugués égaux. Dans ce cas, les conditions (i) et (2) ne sont pas distinctes analytiquement; elles ne sont distinctes qu'au point de vue géométrique. Cela revient à dire que, sans changer les axes orthogonaux de la