DES

L'analyse des courbes dans l'espace peut être faite de deux manières. La première consiste à rapporter la courbe à trois surfaces coordonnées. Un point quelconque de la courbe est déterminé par l'iniersection des trois surfaces» et les coordonnées du point sont les paramètres de ces surfaces; on a alors, d'après la définition de la courbe, trois équations entre ces trois paramètres et une variable indépendante qui donnent la position d'un point quelconque. Il faut ensuite déduire de ces équations les équations de la tangente, ce que l'on fait en différentiant les trois premières; une nouvelle diiférentiation donne la déviation de la courbe en intensité et en direction, et enfin une troisième différentiation donne la Qexion de la courbe et sa direction. On a donc, pour déterminer les éléments de la courbe, douze équations; mais ces éléments n'y entrent pas seuls, car, outre les coordonnées des trois lignes coordonnées, on y a introduit forcément les arcs élémentaires de ces lignes, leurs déviations et leurs Qexions ou plutôt les expressions de ces éléments.

Il résulte de là un inconvénientgrave, qui consiste en ce que, à mesure que l'étude de la courbe devient plus profonde, les expressions des éléments deviennent plus compliquées, et qu'ils sont en quelque sorte immergés dans un milieu d'auxiliaires d'autant plus profondément qu'ils touchent à la nature

2 iRTRODUcrioir.

de la courbe d'une manière plus intime. Accompagnés, comme ils le sont, de ce cortège de quantités étrangères, ils sont plus dirOciles à reconnaître et quelquefois impossibles à manier. Ce sont ce» difficultés, qui cachent ce que l'on a le plus d'intérêt à connaître, qui ont arrêté et qui arrêtent encore les progrès de l'analyse des courbes.

Il est vrai qu'il y a un avantage marchant à côté de cet inconvénient et offrant une certaine compensation. Comme l'apparition d'un élément de la courbe dans les équations différentielles entraîne la présence des éléments correspondants des lignes coordonnées, si l'on parvient à mettre en évidence ces éléments, on obtient des lois géométriques et analytiques d'après lesquelles les éléments de la courbe sont liés avec les éléments des lignes coordonnées. Ces lois, outre qu'elles enrichissent la géométrie des courbes de théorèmes nouveaux, dévoilent aussi des procédés d'intégration qui seraient peut-être restés cachés.

La seconde méthode, que nous avons déjà suivie dans nos deux livres, est diamétralement opposée à celle que nous venons d'exposer; elle repose sur ce principe que, dans l'étude d'une courbe gauche, il faut exclure tous les éléments étrangers à cette courbe, et ne conserver que ceux qui lui appartiennent. Quels sont les éléments constitutifs de la courbe? Pour répondre à cette question, nous pouvons la considérer comme un polygone d'une infinité de côtés; alors il y a trois sortes d'éléments :

I** Les côtés;

QiP Les angles de deux côtés contigus;

3" Les dièdres que les plans de deux angles consécutifs forment entre eux. «

Si ces trois sortes d'éléments sont connues, le polygone est constructible, mais la position du polygone construit reste indéterminée.

Supposons que, d'après la définition de la courbe, on con-

lUTROOUCTfON. 3

naisse les trois lois qui donnent chacune de ces trois sortes d'éléments; on aura trois équations donnant, la première, l'arc de la courbe; la deuxième, l'angle de déviation; la troi* sième, l'angle de flexion. Ces trois équations sont les trois équations élémentaires de la courbe ou bien encore ses trois équfkiïons. naturelles y et elles détermineront la forme de la courbe et non sa position dans l'espace. Or il n'est pas né* cessaire de connaître la position absolue d'une courbe dans l'espace pour en étudier les propriétés intrinsèques; on peut donc fonder sur ces trois équations une analyse qui sera purement relative i la nature de la courbe». sans Indiquer de quelle manière elle est située dans l'espace.

Avant d'aller plus avant, il convient de dire que les trois équations élémentaires de la courbe peuvent être réduites à deux lorsque l'on prend pour variable indépendante l'angle qui représente la somme des angles de déviation, depuis une tangente initiale jusqu'à celle menée par le point que l'on considère. Cet angle a une existence réelle, puisqu'il représente l'angle des deux tangentes après le développement de la surface osculatrice de la courbe sur un plan. Ce choix judicieux de la variable indépendante fait disparaître la deuxième des équations élémentaires de la courbe dont le nombre sera ainsi réduit à deux :

La première, donnant le rapport différentiel de l'arc à la déviation en fonction ^ie la déviation totale, auquel nous donnons le nom de rapport spécifique linéaire,

La seconde, donnant le rapport de la flexion à la déviation en fonction de la déviation totale, auquel nous donnons le nom de rapport spécifique angulaire.

Il faut maintenant dire en peu de mots quels sont les avan* tages et les inconvénients de l'analyse fondée sur les équations élémentaires de la courbe.

Le premier avantage consiste en ce que les deux équations élémentaires de la courbe, telles que nous venons de les dé*

finir, donnent directement les éléments de la courbe et qu'elles ne sont ni surchargées, ni accompagnées d'aucune de ces quantités étrangères à la courbe, qui portent le nom d*auxiliairesy mais qui, en réalité, n'ont qu'une existence parasite.

Le deuxième est que toute l'économie intérieure de la courbe dérive de ces deux équations. L'une, celle qui donne le rapport spécifique linéaire, fournit d'emblée le rayon du cercle, passant par trois points infiniment voisins, appelé cercle osculateur, et est l'expresson de la différentielle de l'arc; conséquemment la longueur de cet arc ne dépend que d'une simple quadrature; l'autre, celle qui donne l'expression du rapport spécifique angulaire, fournît directement la tangente trigonométrique de l'angle que la droite rectifiante fait avec la tangente, angle dont le rôle est important dans la théorie des courbes, et fournit indirectement par sa combinaison avec la première équation les rayons de deuxième et de troisième courbure.

Le troisième avantage consiste en ce que toutes les courbes qui résultent de la courbe donnée, introduites avec tant de bonheur par Monge dans la géométrie de la courbe, sont aussi déterminées sans effort par leurs équations naturelles qui ont la plus intime connexité avec les équations élémentaires de la courbe. Ces lignes sont les lieux des centres des cercles osculateurs, des sphères osculatrices, les développées, les développantes, etc.; et cette connexité est telle que les inté* gralesdescourbess'obtiennentpresquedirectement, parce que> dans celte analyse, les intégrations qu'il faudrait faire pour déterminer dans l'espace la position de la ligne donnée fixent aussi dans l'espace la position des lignes dont il s'agit.

Le quatrième avantage consiste dans une classification naturelle des courbes gauches, d'après leurs équations élémentaires, classification qui n'a jamais été faite par les géomètres, parce qu'ils ont pris une route inverse de celle qu'il fallait prendre, et qui n'a été qu'imparfaitement indiquée par le D' Hoppe, par suite du point de vue trop restreint où il s'est placé.

Il serait beaucoup trop long d'énumérer les autres avantages de cette analyse, qui permet de traiter les questions les

INTlODUGTIOlf. 5

plus dirQcileSy ces avantages devant être mis en évidence par Je livre que nous publions; mais il convient» pour être juste, de montrer l'inconvénient résultant de cette méthode.

Le seul inconvénient auquel soit soumise cette analyse résulte de rimperfëction du Calcul inlégraL Lorsque l'on veut passer des équations élémentaires d'une courbe à ses coordonnées» ce passage ne peut s'accomplir que par l'intégration d'une équation dijSerentielle qui n'est pas intégrable dans sa généralité; si elle l'était» la science des courbes serait une science toute faite. Cet inconvénient» inhérent à la nature de la question, ne peut être ni éludé» ni complètement surmonté ; il pourra seulement être amoindri par la découverte de nouvelles méthodes d'inlégralion.

C'est l'exposition de cette double analyse qui fait le double objet de l'Ouvrage que nous publions sur l'analyse des courbes dans l'espace» pour faire suite à ceux que nous avons déjà publiés sur l'analyse des courbes planes et des courbes tracées sur une surface quelconque. Cet Ouvrage est partagé en deux Livres : le premier» relatif à l'analyse des courbes d'après leurs équations naturelles; le second» à l'analyse des courbes d'après leurs coordonnées.

La première de ces analyses ayant à nos yeux la prééminence sur la seconde» et étant en quelque sorte nouvelle» est celle à laquelle nous avons consacré nos plus grands efforts» et aussi celle oii nos recherches nous paraissent le plus fructueuses.

Après avoir défini les équations élémentaires de la courbe et montré comment elles donnent tous les éléments» ce qui revient à montrer comment elles déterminent la forme de la courbe» nous abordons le problème principal de cette théorie» consistant à déterminer la position absolue de la courbe; pour cela» nous étudions avec soin le mouvement d'une droite dans l'espace. Ce mouvement est double : c'est un mouvement de translation d'un de ses points et de rotation autour de ce, point.

6 1NT10»UCTI0K.

Ce dernier mouvement donne naissance au mouvement angulaire d'un trièdre dont les arêtes sont : i^' la droite donnée; oP la droite menée du point, perpendiculaire à deux positions infiniment voisines de la droite donnée ; 3<» la droite menée du même point parallèlement a l'arc de cercle qui mesure l'angle de ces positions. Le mouvement de ce trièdre est caractérisé par le rapport des déplacements angulaires de la deuxième et de la première arête, que nous appelons rapport spécifique du mouvement angulaire du trièdre; de sorte que, lorsque le mouvement du trièdre est connu, le rapport spé* ciQque est aussi connu, et réciproquement on peut déduire de la valeur du rapport spécifique le mouvement des arêtes du trièdre.

Comme le mouvement de la première arête détermine le mouvement des deux autres, cette arête est dite fondamenrtaie. Si l'on prend pour arête fondamentale la deuxième arête, on trouve le même trièdre avec inversion réciproque des deux premières arêtes et conservation de la troisième; mais si l'on prend pour arête fondamentale la troisième arête du premier trièdre, on obtient un trièdre distinct du premier, qui lui est lié par celle loi que les positions de ses arêtes s'obtiennent par simple voie de différentiation du rapport spécifique du premier trièdre, ou d'une fonction de ce rapport. Nous exprimons ce genre de liaison en disant que ce nouveau trièdre est le trièdre dérivé du premier. D'après cela, on aura le trièdre dérivé du deuxième ordre du premier trièdre en cherchant le trièdre dérivé du deuxième, et ainsi de suite. Que si, partant toujours du premier trièdre, on procède d'une manière inverse, en cherchant le trièdre dont celui-ci est le trièdre dérivé, on aura le trièdre intégral du premier ordre du premier trièdre, parce que son mouvement ne dépend que ' de simples quadratures effectuées sur le rapport spécifique du trièdre donné ou sur des fonctions connues de ce rapport; en opérant de la même manière sur le trièdre intégral, on obtiendra le trièdre intégral du deuxième ordre du trièdre donné, et ainsi de suite.

D'après ce que nous venons de dire, on voit que le mouvement d'un trièdre résultant du déplacement angulaire d'une

INTAOBDeTIOlf. 7

droite produit une série infinie de trièdres* la partie descendante de la série donnant les trièdres dérivés et la partie ascendante donnant successivement un trièdre incégral d'un ordre de plus en plus élevé.

Il convient de donner un nom à une série de trièdres for* méed*après le mode quenous venons d'indiquer : nous rappellerons série généalogique.

Les lois que régissent les trièdres d'une série géinéalogique sont donc les suivantes :

i"* Le mouvement d'une seule arête d'un seul trièdre de la série détermine le mouvement de tous les trièdres de la série.

2® Si le mouvement de cette arête est donné, le mouvement des divers trièdres de la série s'obtient par de simples différentiations ou de simples, quadratures effectuées sur le rapport spécifique angulaire du premier trièdre ou sur une fonction de ce rapport spécifique, et par conséquent aussi le rapport spécifique angulaire de chacun de ces trièdres s'obtient par le même genre d'opérations.

3^ Les divers rapports spécifiques des trièdres de la série sont tous distincts les uns des aulres, et la connaissance de l'un deux détermine toute la série des rapports spécifiques de ces trièdres.

Ces lois ont une importance incontestable. En effet supposons que l'on veuille déterminer le mouvement d'un trièdre de la séried'aprés la valeur spécifique de ce trièdre. La liaison qui existe entre ce rapport et le cosinus de l'angle d'une des arêtes avec une direction fixe est exprimée par une équation différentielle linéaire du troisième ordre. C'est, cette équation qui est Y équation résolvante de la question; son intégration donne d'une manière immédiate le cosinus cherché, et l'on obtient par de simples quadratures le mouvement de tous les trièdres de la série. Or l'iniégration de l'équation résolvante n'est pas possible d'une manière générale; elle ne peut s'ef-

8 INTIODOCTION.

fectuer que lorsque le rapport spécifique est exprimé par certaines fonctions; mais les lois que nous venons d'é* noncer multiplient à l'infini le nombre des cas où l'intégrale générale de cette équation peut s'obtenir par de simples quadratures. En effet supposons connue l'intégrale générale de l'équation pour une valeur donnée du rapport spécifique. D'après les lois précédentes, on obtiendra à la fois, par de simples quadratures, et la valeur du rapport spécifique d'un trièdre quelconque et la valeur du cosinus d'une de ses arêtes avec une direction fixe; la valeur de ce cosinus sera donc l'intégrale générale de l'équation différentielle relative au rapport spécifique du même trièdre.

Donc l'intégration de l'équation résolvante relative à un seul des trièdres de la série donnera les intégrales des équations résolvantes relatives à chacun des trièdres de la série.

Admettons que l'on sache intégrer l'équation différentielle du troisième ordre pour deux valeurs distinctes du rapport spécifique angulaire : si ces valeurs n'appartiennent pas à deux trièdres de la même série, elles donneront chacune les intégrales de tous les trièdres de deux séries distinctes; si ces valeurs appartiennent à deux trièdres de la même série, les intégrales successives, produites par l'une de ces valeurs, ne feront que reproduire les intégrales relatives à l'autre valeur.

Ces considérations s'appliquent avec avantage a la théorie des courbes. Supposons, en effet, que la droite introduite au n"IV, et dont le mouvement est connu, coïncide avec la tangente d'une courbe gauche, elle produira par son mouvement un trièdre trireciangle dont le mouvement sera'connu, et dont le rapport spécifique angulaire ne sera autre chose que le rap* port du déplacement angulaire de la binormale au déplacement angulaire de la tangente, c'est-à-dire le rapport de l'angle de flexion de la courbe à l'angle de déviation; l'expression de ce rapport est donnée par la seconde équation élémentaire de la courbe. Pour passer de ce rapport au cosinus de l'angle de

INTBODUCTlOIf. 9

la tangente avec une directrice fixe, il faudra intégrer une équation différentielle résolvante; et, si Ton sait l'intégrer, on aura résolu le même problème pour toutes les courbes dont les rapports spécifiques angulaires sont les mêmes que les rapports spécifiques des trièdres en nombre infini de la série.

C'est donc par séries généalogiques qu'il faut grouper les courbes, parce qu'il y a une filiation de trièdres qui entrain' la filiation des courbes; une classification de courbes ne peu% avoir de bases solides que tout autant qu'elle est fondée à la fois et sur le nombre infini de séries généalogiques et sur la filiation des trièdres dans la même série. Les courbes sont donc classées par séries d'après leur seconde équation élémentaire, le caractère de la série étant représenté par la plus simple de toutes les valeurs du rapport spécifique dans la série.

Dans une même série, les valeurs du rapport spécifique angulaire sont en nombre infini. Or chacune des valeurs de ce rapport produit une infinité de courbes, comme il est facile de s'en rendre compte, en ayant égard à la première équation élémentaire, qui peut prendre toutes les formes possibles lorsque la forme de la seconde reste invariable: toutes ces courbes qui ont ce caractère commun, provenant de l'identité du rapport spécifique angulaire, forment un genre naturel.

Dans un même genre, supposons que la forme de l'équation élémentaire, laquelle donne l'expression du rapport spécifique linéaire de la courbe, reste la même par suite de l'identité de la fonction qui exprime ce rapport, mais qu'elle varie par suite de la variation des constantes qui entrent sous le signe fonctionnel; à chaque constante considérée comme pouvant prendre une série de valeurs correspondra une famille de courbes. On aura donc, dans le même genre, diverses familles qui auront ce caractère commun, d'avoir même rapport spécifique angulaire et identité de forme du rapport spécifique linéaire.

Ici trouvent leur place toutes les observations que nous avons faites sur les variations du rapport spécifique linéaire dans notre Analyse des courbes tracées sur une surface, p. 28.

Il résulte de ce que nous venons de dire que le problème

lO I2ITaODUCT10N.

si difficile de la classification des courbes peut être résolu d'après leurs équations éléroenuires, et que la solution complète de ce problème appartient intégralement à l'analyse dont il s'agit.

Cette manière de considérer les courbes prend une nouvelle importance lorsque Ton veut traiter le problème dont nous avons déjà parlé, qui consiste à passer des équations élémentaires d'une courbe aux coordonnées d'un de ses points. Ce problème, intimement lié au précédent, pourrait sans doute être éludéy puisque la discussion des équations élémentaires de la courbe en ferait connaître la forme; mais il serait trèsutile de le résoudre, et d'ailleurs il se présente dans cette analyse. L'analyse doit donc en chercher la solution.

On voit d'abord toute la difficulté de la question, qui doit dépendre d'une équation différentielle du cinquième ordre, puisqu'il faut déterminer les trois coordonnées du point et la direction de la tangente en ce point, ce qui donne six quantités qui se réduisent à cinq, par suite de la relation qui existe entre les cosinus des angles de la tangente avec les trois axes. Mais les conditions qui précèdent prouvent que la difficulté peut être notablement amoindrie par la division de la question en deux autres plus simples. En effet, d'après ce que nous avons dit, la direction de la tangente ne dépend que de la seconde des deux équations élémentaires, et nullement de la première; l'équation différentielle qui exprime cette dépendance n'est que du second ordre. On commencera donc par déterminer cette direction, qui sera donnée par le cosinus de l'angle de cette tangente avec l'un des trois axes, ce qui exigera l'intégration de l'équation différentielle dont il s'agit. On passera ensuite à la recherche des coordonnées du point; comme le cosinus de l'angle que la touchante à la courbe fait avec une direction fixe est égal au rapport du déplacement infiniment petit du point suivant cette direction au déplacement réel, et que ce dernier déplacement est donné par la première équation élémentaire, on voit que cette nouvelle question se

INTRODUCTION. Il

sépare en irois autres distinctes, et que trois quadratures don* neront les coordonnées du point.

Ainsi le problème qui nous occupe ne dépend que d'une équation différentielle du second ordre et de trois quadratures.

II est vrai que la difficulté du problème n'est pas entièrement enlevée» à cause de l'équation résolvante qui ne peut être intégrée d'une manière générale; mais la découverte de nouveaux cas d'intégration de cette équation sera un perfectionnement, et elle doit être l'objet des recherches des géomètres.

Des efforts ont été tentés dans ce but par le D' Hoppe, qui, par une analyse ingénieuse, a montré que l'équation résolvante, tout en conservant son ordre, peut prendre la forme linéaire. Cette belle transformation et les propriétés remarquables des intégrales, qui en sont la conséquence, doivent appeler à nouveau l'attention des analystes, en leur ouvrant un champ étendu d'exploration.

Nos efforts personnels sur la même question ont eu pour résultat de constater l'existence de ces séries d'intégrales dont nous avons parlé, de donner leur forme par de simples quadratures et de marquer les caractères auxquels on peut reconnaître leur filiation. La conséquence de ce travail est double: la première consiste à dispenser de l'intégration directe de l'équation résolvante, dès que l'une des intégrales de la série a été obtenue, de sorte que, si Tintégratlon de l'équation a été faite dans le cas où le rapport spécifique angulaire est le plus simple, on n'a plus à intégrer cette équation pour les autres valeurs de ce rapport relatif à la même série, quelque compliquées qu'elles soient, et l'on obtient les intégrales sans avoir même besoin de calculer l'équation résolvante; la seconde conséquence consiste à guider l'analyste dans la recherche des nouveaux cas d'intégration; car, s'il intègre directement cette équation pour des valeurs du rapport spécifique appartenant à une même série, c'est une peine perdue, et la question n'est nullement avancée. Il ne doit considérer que les équations résolvantes relatives à des valeurs spécifiques appartenant à des séries différentes: sous ces conditions, la

] a INTRODUCTION.

découverte d'un cas nouveau d'intégration entraîne la découverte d'une série infinie d'autres cas d'intégration ; sans ces conditions^ la découverte du second cas n'est que factice, puisqu'elle donne d'une manière laborieuse des intégrales qui sont forcément fournies par de simples quadratures, que l'évolution de la série aurait fatalement mises en évidence.

Ces considérations nous éclairent en même temps sur l'influence du rapport spécifique angulaire, dans la théorie des courbes, sur sa prééminence relativement au rapport spécifique linéaire et sur le véritable rôle de chacun d'eux. En considérant le trièdre trirectangle dont l'aréte fondamentale est la tangente à la courbe lorsque l'on passe par tous ses points consécutifs, on voit que ce trièdre prend un double mouvement, mouvement de translation de son sommet, mouvement de rotation de ses arêtes; c'est ce double mouvement qui manifeste la vie de la courbe : le premier, sa vie extérieure, le second, sa vie intérieure; l'un, la partie visible, l'autre, la partie invisible. Or c'est cette partie intime qui se rapporte au rapport spécifique angulaire, tandis que la première des deux n'est réellement accusée que par le rapport linéaire, quoiqu'elle procède de l'un et de l'autre.

Le mouvement du trièdre dont il s'agit n'accuse pas seulement les affections propres de la courbe, il dévoile aussi l'existence de certaines surfaces concomitantes de la courbe, qui sont : les unes, des surfaces développables, enveloppes des faces du trièdre; les autres, des surfaces réglées gauches, produites par le mouvement de ses arêtes. Ces surfaces, par suite de leur origine, sont intimement liées avec la courbe, et leur considération ne contribue pas peu à faire connaître leur économie géométrique; les premières sont caractéri» sées par leurs arêtes de rebroussement, et les secondes par leurs lignes de striction. Les équations naturelles de ces courbes s'obtiennent, sans difficulté aucune, d'après les équations élémentaires de la courbe proposée.

INTRODDGTlOlf. l3

Il y a pluSy on est naUirellemenl conduit à étudier les diverses courbes qui peuvent être tracées sur ces surfaces , parce que ces courbes jouissent de propriétés particulières, et c'est toujours avec la marne facilité que s'accomplit ce travail lorsque l'on fait usage de leurs équations naturelles. C'est ainsi que nous étudions les courbes tracées sur la surface polaire de la courbe gauche, sur sa surface osculatrice et sur sa surface rectifiante, et les courbes tracées sur la surface gauche, lieu des normales principales. Il serait beaucoup trop long d'énumérer les problèmes qui se présentent dans cet ordre d'idées, et que l'on parvient à résoudre complètement; qu'il nous suffise de signaler :

i^ Le problème des développantes dont nous donnons les intégrales non-seulement dans «le cas où ces développantes sont du premier ordre et orthogonales, mais aussi dans le cas où elles sont d'un ordre quelconque et obliques.

2° Le problème des développées qui, depuis Monge, a occupé les géomètres; nous donnons aussi les intégrales de ces courbes lorsque l'ordre de ces développées est quelconque*

3^ Le problème des roulettes, qui n'a été résolu complètement que dans deux cas : celui où elles sont planes et celui où elles sont sphériques. Ce problème, lorsqu'on ne se contente pas d'obtenir les coordonnées du point, mais qu'on le traite à fond, a une grande importance, parce qu'il fournit un des plus puissants moyens d'intégration des équations différentielles et des équations aux différences partielles que possède la Géométrie; des questions nombreuses et intéressantes sont traitées par cette méthode.

4"" Le problème des podaires, qui est intimement lié au problème précédent et qui nous fournit le moyen de généraliser le théorème de Steiner.

5"* Le problème relatif à l'enveloppe d'un plan mobile dans le cas général, avec des applications aux cas les plus intéressants. Les relations de ce problème avec celui des roulettes sont mises en relief, et il en résulte une méthode facile pour traiter les questions relatives aux trajectoires d'un point mobile situé dans un plan également mobile.

]4 1NTH0DU€TI0N.

Ce qui établit d'une manière évidente la primauté de l'analyse des équations naturelles sur l'analyse des coordonnées, c'est la différence des procédés des deux analyses dans la résolution des questions élevées, dans lesquelles il s'agit de déterminer une courbe d'après deux de ses propriétés ou d'après ses relations avec d'autres courbes données.

Voici comment procède la seconde : elle donne les équations flnies de' la courbe cherchée exprimées par ses coordonnées comme si elles étaient- connues. Pour établir les relations indiquées par le problème, elle soumet ces équations à des différentiations successives et à une série d'évolutions après lesquelles elle parvient à exprimer les conditions du problème; puis elle opère des éliminaiions, des transformations, par lesquelles il faut se débarrasser successivement des coordonnées de la courbe, et, si l'on parvient à donner à l'équation finale une forme simple et à abaisser son ordre de différentiation , cela tient à l'introduction des variables auxiliaires. Ce jeu de formules, cette savante marche d'équa* tions peut être propre à mettre en relief le génie analytique du calculateur; mais, quand on y regarde de près, ces varia* blés auxiliaires, qui semblent choisies d'inspiration, ne sont que les éléments eux-mêmes de la courbe cherchée, et l'équation résolvante obtenue par un long travail et qui paratt, de prime abord, le triomphe d'une tactique spéciale, n'est autre chose qu'une combinaison évidente des équations élémentaires de la courbe.

La première analyse procède d'une manière toute diffé* rente : elle écrit d'emblée les équations élémentaires des courbes du problème; les conditions de l'énoncé y sont à l'instant exprimées et l'équation résolvante s'obtient sans travail et sans effort sous sa forme la plus simple. Trois problèmes importants résolus par nous au moyen de cette analyse et déjà traités par de très-habiles géomètres, suivant la méthode des

IRTEODUGTION. l5

coordonnées, sont des exemples frappants de rinfériorité de Jeor procédé et de la supériorité de leur talent.

Ces problèmes ont pour but de trouver : i*^ les intégrales des courbes dont le lieu des centres des cercles osculateurs est une courbe donnée; 2^ les intégrales des courbes dont le lieu des centres des sphères osculatrices est une courbe donnée; 3** les intégrales des courbes dont la développante sous angle variable est une courbe donnée.

Ce que nous venons de dire nous conduit à examiner s'il est facile d'établir, directement et d'une manière rapide, les équations élémentaires des courbes d'un problème de Tordre dont il s'agit; car, si l'établissement de ces équations deman^ dait un travail pénible, les avantages qu^nous venons de faire ressortir n'auraient aucune réalité.

Il y a deux sortes d'équations élémentaires : les unes sont relatives à la détermination des éléments linéaires; les autres, à la détermination des éléments angulaires des diverses courbes du problème.

Les premières sont données intuitivement par le principe des projections, appliqué a un certain polygone provenant du déplacement de la figure, ces projections étant faites suivant trois directions rectangulaires qui sont les directions des arêtes d'un des trièdres mobiles.

Le principe de la courbure inclinée, introduit par nous depuis i85o dans l'analyse des courbes, donne non moins simplement les secondes. Il faut avouer que ces équations sont plus difficiles à obtenir, parce qu'elles supposent un triple déplacement de la figure. Dans l'analyse des coordonnées, elles exigent de longs calculs; mais, comme elles ont une importance majeure, parce qu'elles expriment le mouvement simultané des trièdres mobiles propres aux diverses courbes de la question, ces calculs sont indispensables. C'est pour avoir négligé de calculer ces équations que certains géomètres n'ont vu qu'imparfaitement les propriétés fondamentales des courbes

l6 INTHODUGTION.

mises en jeu par la question à résoudre» et que les intégrales de ces courbes sont restées voilées. Or le principe de la courbure inclinée se prête admirablement à cette recherche; qu'elle soit faite par la Géométrie ou par rAnalyse, il donne immédiatement les relations angulaires. Aussi nous faisons de ce principe un usage incessant dans les divers problèmes que nous avons résolus, et nous appelons l'attention de nos lecteurs sur sa simplicité et sa fécondité.

Lorsque ces deux ordres d'équations sont obtenus, l'équation résolvante s'ensuit, et leur discussion directe donne tout ce qui regarde les propriétésdes courbes cherchées, leur forme et la position des unes par rapport aux autres; de sorte qu'il ne reste plus qu'à déterminer la position absolue d'une seule d'entre elles pour avoir les coordonnées de toutes en termes finis, ce qui exige l'intégration de l'équation résolvante. Or un des plus précieux avantages de l'Analyse dont il s'agit est que, lorsque cette équation est intégrable, ses intégrales s'obtiennent directement sans avoir recours au Calcul intégral, comme on le verra, dans le cours de notre Ouvrage, par des exemples nombreux et variés.

Le deuxième Livre de notre Ouvrage est, comme nous l'avons dit, consacré à l'analyse des courbes d'après leurs coordonnées. Dès les premiers pas que l'on a faits dans cette analyse, fondée par Clairaut et tant perfectionnée par Monge, on a eu recours au système de coordonnées rectilignes, qui se présente comme le plus simple de tous et auquel le principe des projections est facilement applicable ; mais cette simplicité provient des éléments des lignes coordonnées qui sont nuls lorsque ces lignes sont droites : ces éléments sont les déviations et les flexions des lignes coordonnées. Or l'évanouissement de ces éléments exerce une influence fâcheuse sur les équations à un autre point de vue; il oblitère la forme régulière des unes par suite des termes qui s'annulent et entraîne la disparition complète des autres. Il nous a paru utile d'éta-

IHTlODOGTlOlf. 17

blir la théorie des courbes dans un système quelconque de coordonnées curvilignes, afin que les lois géométriques qui régissent les divers éléments de la courbe et les éléments correspondants des lignes correspondantes soient mises en évidence. Ces lois sont véritablement remarquables et correspondent à des théorèmes de Géométrie qu'il est utile» sinon indispensable, de connaître, aujourd'hui que les recherches de Physique mathématique ont vulgarisé l'usage des coordonnées curvilignes. Au point de vue analytique, elles offrent des formules de transformation dont on peut faire un fréquent usage.

Pour arriver à établir ces équations dans toute leur généralité, il est indispensable d'exposer avec quelques développe ments les principes des coordonnées curvilignes; nous les avons puisés dans notre Théorie des coordonnées curvilignes quelconques; ils sont relatifs aux variations des arcs coordonnés et aux variations de courbure propres et des courbures inclinées des lignes coordonnées, ainsi qu'aux relations qui existent entre ces variations. C'est au moyen de ces principes que nous donnons trois solutions successives du problème des coordonnées curvilignes.

Les paramètres différentiels jouent un rôle important dans l'analyse des courbes, faite d'après cette méthode, puisque tous les éléments d'une courbe sont exprimables au moyen de ces paramètres; nous donnons deux moyens de les calculer, l'un direct, l'autre résultant d'un changement de coordonnées.

Cela fait, nous exposons les lois qui régissent la tangente, Tare, la déviation, la flexion de la courbe en liant ces éléments avec les éléments correspondants des lignes coordonnées. Les calculs, par suite de la généralité du point de vue où nous nous sommes placé, sont très-complexes; mais la symétrie des formules, d'une part, et, de l'autre, l'introduction constante de la courbure inclinée, qui est un puissant moyen de condensation, nous permettent de simplifier ces calculs et de les présenter sous une forme régulière.

L'ensemble de toutes ces recherches forme un corps de doctrine complet sur cette matière et, nous osons le dire, nouveau.

Mais il ne suffisait pas d'établir los formules générales sous la forme commandée par cette Analyse, il fallait encore montrer le parti que Ton pouvait en tirer : c'est ce que nous avons fait dans de nombreuses et intéressantes applications.

Elles sont relatives aux principales questions sur la théorie des courbes en tant qu'elles sont liées avec les courbes d'un système coordonné. Elles contiennent :

I® La théorie complète du contact des courbes et des surfaces dans un système quelconque de lignes coordonnées;

2* La théorie des trajectoires des lignes coordonnées d'un système sous diverses conditions, ainsi que des surfaces de ce système ;

3® La théorie des courbes conjuguées d'une série de surfaces par cette condition que la tangente à la courbe et le plan tangent à la surface soient, au point d'intersection, parallèles à un diamètre et au plan diamétral conjugué d'un ellipsoïde donné;

4"* Entln la théorie des surfaces orthogonales et des surfaces coupant deux ou plusieurs séries de surfaces données sous des conditions données.

La résolution des divers problèmes que nous avons abordés familiarisera le lecteur avec l'analyse des coordonnées, et montrera dans quel cas il faut de préférence recourir à elle.

Un avantage que nous avons cherché à mettre en relief est celui qui résulte du choix du système coordonné, parce que les intégrales des courbes cherchées se déduisent directement de tel système et restent tout à fait voilées dans tout autre.

Le livre que nous publions est à la fois un livre de recher^ ches et un livre didactique; îl ne peut donc pas ressembler à ces travaux où l'auteur énonce les résultats qui sont suscep* tibles d'une forme séduisante, passant sous silence les autres

ot surtout, cachant avec soin la route qu'il a suivie. La curiosité du lecteur est piquée jusqu'à ce que cette route soit découverte : alors il éprouve une espèce de désappointement et réduit à des proportions bien amoindries Timportance des résultats obtenus. Notre but principal est d'instruire et non d*exciler la surprise; en livrant le fruit de nos recherches, nous livrons encore avec plus de satisfaction le secret de nos procédés, persuadé que nous sommes que les méthodes exposées par nous seront, entre les mains de ceux qui voudront s*en servir, un instrument des plus précieux pour obtenir des résultats bien plus remarquables que ceux par nous obtenus.

En écrivant ce livre, qui a exigé tant et de si profondes investigations, nous avons compris qu*il nous serait impossible de lui donner la perfection qu*il devrait avoir, celle qu'il aurait acquise s'il eût été écrit par un de nos géomètres de l'école française qui illustre encore notre siècle, disciples de Monge ou émules de Lagrange. Cette pensée nous aurait complètement découragé si le souvenir de l'accueil qu'ils ont accordé aux deux livres qui ont précédé celui-ci ne se fût présenté à nous pour nous encourager et nous fortifier.

Puissent-ils accueillir avec la même faveur l'Ouvrage que nous publions aujourd'hui ! S'ils l'honorent de leurs suffrages, ce sera une preuve qu'il est digne des géomètres de tous les pays, et ce sera la plus belle, la plus élevée des récompenses que nous puissions obtenir.

Marseille, iq avril 1S75.