DES POLYGONES GAUCHES

§ L — Dbs polygones gauches et de leurs équations.

1. Détermination et un polygone gauche. — Un polygone gauche est celui dans lequel trois côtés consécutifs quelconques ne se trouvent pas dans un même plan. Supposons qu'un mobile parcoure successivement les différents côtés d'un polygone gauche» fermé ou non, ce mobile donne les directions des côtés du polygone. Or ce polygone sera déterminé de grandeur, si l'on connaît : i" les longueurs des côtés; 2<* les angles que deux côtés consécutifs quelconques forment entre eux; 3*" les dièdres que les deux plans de deux angles consé^ cuiifs forment entre eux; il sera de plus déterminé de posi* tion, si deux côtés consécutifs sont donnés de position. La connaissance des côtés et des angles de deux côtés consécutifs quelconques ne suffit pas pour déterminer la forme du polygone, puisqu'un côté formant un angle donné avec le côté contigu décrira autour de celui-ci, supposé fixe, une surface conique et reste, par conséquent, indéterminé; mais il est déterminé lorsque le dièdre du plan de ces deux côtés et d'un plan fixe est connu. Ce mode de détermination d'un polygone gauche est le plus propre à faire connaître sa nature, puisqu'il suppose la connaissance des trois sortes d'éléments qui 1c

M UT«B I. — SECTION I. — CHAPITEB I.

ZTn^T/T^'' '"«'*' ^^ ''«"^ *=«'«« consécutifs, dièdres des plans de deux angles consécutifs.

Dos^îion 'îf r ^'"""^ P'"' ^''^ déterminé de grandeur et de

rannort r. *''"''°"' *"" '^^ ^'^'^'^^^^ <>" de ses côtés par naît Z «1 h"'' "°*»'-'*°°»é« rectillgnes; mais on ne con-

frois .nn^ .. î/"''"'"""' ^"« ■'«» P"^^'*"^ » connaître les trois sortes d'éléments inhérents à sa nature.

2. Équations élémentaires du polygone. - Soient A.. A.. A,,..., A,{Jig. 1) les sommets d'un polygone; /., /.,/.,. ...

FIg. I.

l^, les longueurs de ces côtés; si l'on représente par*, la somme de ces côtes, on aura la relation

SI dans cette équation on donne à « toutes les valeurs entières, depuis .jusqu'à n, on obtiendra n équations. lesquelles ajoutées membre a membre, donneront la relation suivante '

dans laquelle le signe 2 indique une somme qui s'étend à toutes les valeurs que prend la quantité placée sous ce si«i.» lorsqu'on donne à k toutes les valeurs, depuis zéro jusqu'à

Soient Ae,. Ae,. Ae„ . . . , Ae^, les angles que les côtés forment

DBS POLYGONES GAVCHKS. !l5

conséculivement entre eux. Si Ton remarque que Ton a l'équation

on déduira 9 en raisonnant comme nous venons de le faire, l'équation

(2') e»=:e, -+-\ Ae*;

ainsi e» est la somme des angles du polygone augmentée de la constante e».

Soit, enfin, A6)«.i le dièdre que les plans des deux angles A6„, A6„.i forment entre eux; on aura la relaiion

( 3) . Aû)», = w» — a)«-„

et conséquemment on tombe sur la relation correspondante

(3') û)„ = &), -h \ Au)*,

de sorte que a>n est la somme des dièdres que les plans des angles du polygone forment consécutivement entre eux.

Pour mettre de la précision dans le langage, nous appellerons déplacements finis les longueurs telles que A^*; déviations finies les angles tels que Lzh\ flexions finies les dièdres tels que A&)*. D'après cela, les équations (1'), (2'), (3') montrent que les différences, telles que *« — s,» €« — £«, ou — w., représentent, la première, la somme des déplacements finis; la deuxième, la somme des déviations finies; la troisième^ la somme des flexions finies.

Si le polygone est déterminé, la loi des variations des déplacements, des déviations et des flexions est connue, de sorte que, si l'on représente par t^ une variable subissant des variations finies A/ constantes et telles que Ton ait

on a les trois relations suivantes, dans lesquelles /, 9, ^

a6 LIYRB I. — SBGTIOR I. — CMAPITIE I.

sont des fonctions connues

et réciproquement, si ces trots équations sont connues, la forme du polygone est déterminée. Il en sera de même de sa position si l'on se donne le plan de Tangle A£« et dans ce plan la position du côté /,. C'est pour cela que nous appelons ces équations les équations du polygone; et, comme elles font connaître directement et sans auxiliaires les trois sortes d'éléments qui le composent, nous les appelons équations étémentaires du polygone.

Si le polygone est tel que lesTarialîonsd'unde sesélémenu» restent constantes, on prendra cet élément pour yariable, h laquelle seront rapportées les variations des deux autres éléments; alors les équations élémentaires du polygone se réduiront à deux. Ainsi, si la déviation Aci reste toujours la même, on posera /»., = Ci, et les équations élémentaires du polygone seront

3. Construction du polygone diaprés ses équations éiémentaires. •— Il convient de montrer comment on peut construire le polygone au moyen de ses équations élémentaires (4)- Ces équations font connaître successivement tous les côtés Ait, Ail, Al], . . . , Ai«.i ; tous les angles A£«, Aei, Ae^, . . . , Aei^i ; tous les dièdres Ao)*, Aa>,, Acih»—, A&)»-|. Cela étant, on se donnera le plan de l'angle Ae«, et dans ce plan la position de Ai«; l'angle Ae* déterminera la position du côté Ai|. Suivant Ai. on mènera un plan formant avec le plan donné et dans le sens déterminé par la troisième des équations (4 ) un dièdre égal à Ag^,. Dans ce plan, on mènera de l'extrémité du côté Ai. une longueur égale à Ais et formant avec Aii un angle égal à Aei. Suivant Ai» on mènera un plan formant avec le plan de l'angle Aci un dièdre égal à A6d,. Dans ce plan, on mènera de l'extrémité du côté Ai, une longaeor égale à Ai. et formant avec Ait un angle égal

DES POLYGONES GàUGHfiS. 27

à àUf et ainsi de suite; on arrivera, de proche en proche» jusqu'à la détermination du côté A«m.i, ce qui donne la construction complète du polygone.

Cette construction peut être modiûée de la manière suivante : on construira^ par la connaissance des côtés et des angles, un polygone plan ayant ses côtés et ses angles égaux, chacun à chacun, aux côtés et aux angles du polygone gauche, ce qui se fera en ne faisant usage que des deux premières équations (4)- Cela fait, on fera tourner toute la figure moins le côté A^t autour du côté A«i pris pour axe et dans un sens convenable, d'un angle égal à Aui; on fera tourner la nouvelle figure moins les deux côtés As», A5, autour du côté àst pris pour axe d'un angle égal à A(t)i; on^obtiendra ainsi une troisième figure, on la fera tourner moins les trois côtés Ai«, Aii, Ass autour du côté Ajs pris pour axe d'un angle égal à Aeo», et ainsi de suite. De cette manière, lorsqu'on aura opéré sur l'avant-dernier côté Ai».*, on aura transformé le polygone plan en polygone gauche. Ce mode de construction fait dépendre le polygone gauche : i** d'un polygone plan ayant ses côtés et ses angles égaux aux côtés et aux angles du polygone gauche; 2? de la loi des flexions.

On peut aussi faire dépendre cette construction d'un polygone sphérique et de la loi des déplacements. En effet, considérons les deux dernières équations (4); elles font connaître les angles et les dièdres du polygone gauche. Sur une sphère d'un rayon égal à i, construisons, en suivant le procédé indiqué, un polygone sphérique dont les côtés soient Ae*, Aci,' Aes,. .., 'Ae»jii et dont les angles soient A&)«, Acji, Acos,..., A<o»^, et joignons les extrémités et les sommets de ce polygone au centre; ces divers rayons font successivement entre eux les mêmes angles que les côtés du polygone, et les plans de deux de ces angles successifs font le même dièdre que les plans des angles correspondants du polygone. Cela posé, prenons un plan parallèle au plan des deux premiers rayons et dans ce plan menons un côté égal à A5« et parallèle au premier rayon; de l'extrémité de ce côté menons une longueur parallèle au deuxième rayon et égal à A«i ; de l'extrémité de ce deuxième côté menons une longueur parallèle au troisième

a8 LtYBB I. ~ SEGTIOM I. — GBAPITBB I.

rayon et égale à àst, et ainsi de suite. Opérons de même jusqu'à ce que nous arrivions au côté A^a^i. Nous aurons alors construit le polygone gauche» d'après ses équations (4)-

De ce qui précède, nous concluons la proposition suivante, qui a une grande importance :

Théorème. — Un polygone gauche est complètement déterminé de forme par ses équations élémentaires, mais non dt^ position.

h. Rectification du polygone. — On appelle ainsi l'opération qui consiste à transformer le polygone gauche en polygone plan, et le périmètre de ce polygone en ligne droite. D'après ce que nous venons de voir, deux rotations Qnies doivent être effectuées en chaque sommet; l'une autour du second côté pour amener dans le plan de l'angle correspondant à ce sommet le plan de Tangle qui suit; l'autre autour de la normale au sommet aux deux côtés de l'angle pour amener le deuxième côté dans la direction du premier. Si l'angle dont il s'agit est l'angle Ae.-, la première rotation a été effectuée autour du côté A5/^.i et est égale au dièdre Aca/, et la deuxième autour de la normale au sommet de l'angle et est égale à Ac/.

Droite rectifiante. — Hais il se présente ici cette question, s'il ne serait pas possible d'obtenir la rectification du polygone au moyen d'une seule rotation finie effectuée autour d'un axe en chaque sommet. Considérons l'angle Ae/4.1 et l'angle qui le précède Ae/. Ces deux angles ont un côté commun As^^i et ITnclinaison de leurs plans Ao; est la même que l'angle des deux perpendiculaires n<>i, /i/ à ces plans, menées par le sommet de l'angle Ae/. Menons suivant A^/4.1 un plan également incliné sur chacune de ces normales, et suivant ni un plan partageant l'angle Ae/ en deux parties égales; ces deux plans se couperont suivant une droite pi passant par le sommet de l'angle ; il y a donc, issues du sommet de l'angle Ae„ cinq droites : le prolongement du côté A5/, le côté A^i^.!, la normale n,- une parallèle à la normale ni+x et la droite pi. Si nous décrivons [fig. 2) du sommet de l'angle Ae,> pris comme centre, une sphère avec un rayon égal à l'unité, nous appellerons T, T', N, N', P les traces de ces cinq droites sur la surface sphé-

DBS POLYGONES GàDGHBS. 29

rique. D'après ce qui précède, T' est le pôle de Tare NNS et N le pôle de Tare TT'. Dans le triangle sphérique NPT' le côté

Fig. 2.

NT' égale 90 degrés; l'angle T'NP est tt — iAe,; l'angle NT'P est y Aûdi-; la résolution de ce triangle sphérique et de son supplémentaire donne les équations

sinNPT

sin(P,r)sin(P,N) sin|A£j sin|A(Oi-

^ I — cos^ 7 Au cos' y A&) I-

ce qui déterminera la position de la droite pt et la rotation qu'il faut effectuer autour de cette droite pour amener simultanément N' surN et T' sur T. Cette rotation NPN'est égale au double de l'angle dont le cosinus est cosy A6,cosy Ao),-.

Ainsi, bien qu'il s'agisse de rotations finies ayant lieu autour de deux axes, on peut les composer en une seule ayant une valeur déterminée, et s'effectuant autour d'un axe déterminé. Les lois qui régissent cette composition sont données par les formules précédentes, qui n'ont rien de compliqué et qui conduisent immédiatement aux théorèmes de Poinsot sur la

3o LITRB K — SICTION I. — CHAPITRE I.

rotation des corps lorsqu'on passe «ux inOniment petits. Nous arrivons donc à cette proposition :

Théorème. — // existe une droite rectifiante de tout po- Ixgone gauche, dont les sinus des inclinaisons par rapport au côté de Vangle du polygone et par rapport à la normale au sommet sont dans le même rapport que les sinus de la demidéviation et de la demi-flexion.

Cosinus des angles que la droite rectifiante fait avec les trois droites rectangulaires OT, ON» OR. — - Dans le plan de l'angle TOT, et dans le sens de cet angle, menons du point O le rayon OR perpendiculaire à OT; les trois droites OT, ON, OR sont les trois arêtes d'un trièdre trirectangle; nous allons rapporter la direction de la droite OP à ces trois arêtes et ca^ culer les cosinus des angles de cette droite avec les trois arêtes. Or les sinus des deux premiers de ces angles sont connus par les formules (5); on en déduit immédiatement les cosinus de ces deux angles; quant au cosinus du troisième angle, il se déduit des deux premiers par le théorème de la somme des carrés des cosinus.

On a donc, en introduisant l'auxiliaire yi par la condition

;in>3==i/i —

sin>3==\/ I — ces' — cos* — >

les trois expressions suivantes :

cos sm —

Ae,- . Aw,

,. . cos — sm