COS(T, P

. Ae,- . Ao), sin — sm —

cos(R, P) =

smv) Si du point O on mène une parallèle Oc à la corde TT', ei

DK8 POLYGONES GAUCHES.

une parallèle Oy à la corde NN% le triangle lyc qui est rec* tangle en I donne

cos(y, c) = cos — cos — > sin(y, c) = sinrj;

Tauxillaire 27) a donc une signification.

Polygone sphérique rectifiant. — Supposons construit, comme on Ta indiqué au numéro précédent, le polygone sphérique dont les côtés sont les déviations du polygone gauche, et les angles, les flexions de ce polygone; supposons également construit le polygone sphérique polaire, c'est-à-dire tel que les sommets soient les pôles des côtés du premier polygone sphérique, il est évident que le premier sera aussi le polygone polaire du deuxième. Si l'on joint par des arcs de cercle les milieux de chaque côté du premier avec le sommet correspondant du deuxième qui est le pôle de ce côté et les milieux de chaque côté du deuxième avec le sommet correspondant du premier qui est le pôle de ce côté, les intersections des arcs correspondants chacun à chacun donneront une série de points qui seront les sommets d'un polygone sphérique que l'on peut appeler polygone rectifiant, en ce sens que si l'on joint le centre de la sphère aux différents sommets de ce polygone, on aura les directions de la série des droites rectifiantes du polygone gauche.

6. Cercle passant par trois sommets consécutifs. — Soient ku A<+i, A/H-3 [fig* 3) les trois sommets consécutifs du poly-

Fîg. 3.

gone. Si l'on remarque que le diamètre du cercle circonscrit à ce triangle est le rapport d'un côté au sinus de l'angle opposé, on trouve, en évaluant A/A/+3 en fonction des données

3a UYSE I. — SECTION I. — GHÂPITKB I.

qui sont //, li -h A// et Ad l'expression suivante du rayon ft,- :

^ ^ sin'yAei sin'Ae/

La direction de ce rayon par rapport aux deux côtés /i et /,+i est donnée par les deux formules

(R') 2C0s(R,,/,) = ^^, :,cos(Ki,li^,)='-^^*

Si Ton passe aux inflniment petits, on trouve le rayon du cercle osculateur et sa direction.

Si l'on appelle a, l'apothème relatif au côté /<*, on a la relation

§ IL — Deuxiëmb système d'équations.

6. Deuxième système d'équations. — Le polygone sera déterminé de forme d'une seconde manière si l'on connaît les côtés en longueur et direction» et de plus il sera déterminé de position si l'on connatt seulement la position d'un côté. Ceci revient à dire que Ton donne la première des équations (4)9 qui exprime la loi de la variation du périmètre du polygone, et les angles que chaque côté fait avec trois axes flxes que nous supposons rectangulaires, de sorte que Ton a aussi les trois équations

(/) cos(/,,^)=//'^(//), cos(/,,r)=/;['^(/,), COS{li, z)=f['\t,),

dans lesquelles i prend toutes les valeurs entières depuis zéro jusqu'à n.

Si l'on se donne les coordonnées d'un sommet, par exemple du point A», on mènera de ce point une longueur /« ayant la direction donnée par les trois cosinus qui se rapportent à /« ; de l'extrémité du côté /« on mènera une ligne ayant la direction marquée par les cosinus qui se rapportent à A, et sur cette ligne, à partir de ce point, une longueur égale à /t donnée