D£S POLYGONES GAUCHES

par la première équation (4)» et ainsi de suite. En opérant de même on arrivera jusqu'au dernier côté /« du polygone.

Dans ce système d'équations, une seule fait connaître directement une espèce d'éléments du polygone, c'est la première des équations (4) élémentaires; les autres équations ne font pas connaître directement les deux autres espèces d'éléments du polygone, qui sont les déviations finies et les flexions finies. Ce n'est que par une suite de déductions qu'on arrive à In connaissance de ces éléments. Au point de vue géomé-trique, la construction du polygone met en évidence ces deux sortes d'éléments, et l'Analyse, de son côté, donne les formules qui en fournissent les expressions explicites.

7. Déviations. — Considérons, en eflTct, le sommet de l'angle A6|-; les deux côtés de cet angle sont //prolongé et d+i. Or, si du sommet de cet angle et dans son plan, avec un rayon égal à l'unité, on décrit un arc de cercle qui mesure l'angle Ae/ et que l'on trace la corde c« de cet arc, on obtient un triangle isoscèle, de sorte que, si l'on projette le périmètre de ce triangle successivement sur les trois axes, on obtient trois équations semblables à la suivante, et qui s'en déduisent en y changeant successivement x en 7 et en z :

cos(//, ar)4-2sin7Ae,cos(Ci,ji;) — cos(//+i, a:)=o, (3) {•)

de laquelle on déduit le type suivant :

(6) 2sinj A€,cos(c/, a:) = Acos(/,-, x), (3)

Ces trois équations font connaître les trois angles que les trois axes coordonnés font avec la perpendiculaire au plan normal du plan de l'angle Ac/ et bissecteur de cet angle, et de plus l'angle Ae/, puisque, si Ton élève au carré et qu'on ajoute, on trouve l'équation qui donne la loi des angles du polygone

(7 ) 4 sin I Ae, = S [A cos(/ô x)]\

dans laquelle la lettre S indique la somme des trois quantités que l'on obtient, en faisant dans l'expression entre crochets

(*) Le cbiffire 3 entre parenthèses ( ), placé à la droite de réquation, indique rcxistcnce de ces trois équations; cette notation sera conservée dans la suite.

34 LIVHE !• — SECTION I. — CHAPITRE î.

successivement x égal à x^ y^ z. Cette notation sera aussi conservée dans la suite.

8. Flexions. — • Les flexions du polygone s'obtiennent avec non moins de facilité. Soit ii« la normale au plan de Tangle Ae,-, menée par son sommet; projetons Faire du triangle isoscèle que nous venons de considérer sur les trois plans coordon* nés, en fixant comme il convient le sens de la normale n«- ; on a les trois équations contenues dans le type suivant :

l sînA6,cos(n/, a?)

I = cos(/ô/)Acos(/j, z) — cos{/;, z)àcos{lifX), (3)

Ces formules font connattre les cosinus des angles que les trois axes coordonnés font avec la normale ni au plan de l'angle A£/. Donc, si l'on raisonne comme on vient de le faire, pour trouver la déviation, il faudra mener du pied de la normale ni une parallèle à la normale suivante /ii+i, et l'on aura un angle Aon, qui sera la mesure de la flexion, et qui donnera, en appelant y/ la corde correspondant à cet angle, le;^ trois équations contenues dans le type suivant :

(9) 2sinyA&)iC0s(y,-, ar)= Acos(ni,a:), (3)

Ces trois équations font connaître les angles que les trois axes coordonnés font avec la perpendiculaire au plan bissecteur des plans des deux angles As,-, A£/+i, et de plus l'angle Ao,qui est donné par l'équation

(10) 4sin4^r = S[Acos(ni, j:)]*.

9. Normale principale. — Considérons l'angle Ae/ dont les deux côtés sont /,• prolongé et /,+i ; la normale au premier côté, menée par le sommet et située dans le plan de l'angle, est la normale principale. Pour obtenir les cosinus des angles que cette normale fait avec les trois axes coordonnés, menons par le sommet de l'angle Asi (Jig. 3) une longueur Â/4.1B égale è l'unité, parallèle à la corde Ci qui sous-tend l'arc Ae/, et une normale principale r»-, et projetons la première longueur sur cette normale. Si nous considérons le triangle cBA,>i formé par la longueur dont il s'agit et sa projection, et que nous pro-