DES POLYGONES GAUCHES
jetions son périmètre sur les trois axes coordonnés, nous aurons les trois équations dans le type suivant :
(12) cosyA£iCOs(rô j:) = cos(Ci, j;)-i- sinjAe/COs(//» j:);
et, si Ton a égard aux équations (6), on obtient la formule suivante :
(12') sin Afi,' cos(ri, j;) = A cos(4> ^) H- a sinH Ac,cos(//, a:) ;
ppur la normale r[ au côté suivant dans le même plan* on ob tt^nt de la même manière la formule
(iii") sinA£,cos(rJ,a?) = Acos(//,ar)— 2sin'jAe/C0S(/|.f.i,;r)y
et, en ajoutant membre à membre les équations (12' ) et (12''), on tombe sur l'équation suivante :
sinAei[cos(r/,x)-hcos(r5, ar)] = 2A cos(4, ;r)cos"-îA€<;
ces différentes formules donnent les cosinus des angles d'un côté quelconque du polygone avec les trois axes coordonnés.
10, Jongles de la droite rectifiante opec les trois axes, — Cette droite p^ est l'intersection (k) des deux plans bissecteurs : le premier de l'angle Ae<, et perpendiculaire au plan de cet angle ; le second de l'angle A&)^ dès deux binormales n/, tti^tf et perpendiculaire au plan de cet angle. Or la corde ct, qui sous-tend l'arc As^, est perpendiculaire au premier plan, et la corde y<, qui sous-tend l'arc Aci)«-, est perpendiculaire au second plan;' donc l'intersection des deux plans est perpendiculaire commune des deux cordes c<-, yt. On a donc cette proposition :
La droite rectifiante pi est perpendiculaire commune des deux cordes d et yt qui sous-tendent : la première, rare Aci de deux côtés consécutifs du polygone^ et la seconde, Varc Aa)^ de deux binormales consécutives.
Angle de ces deux cordes c?,-, y^. — Multiplions membre a membre les équations (6) par les équations (9), chacune par chacune, et ajoutons : nous obtenons l'équation résultante
4sin|Ae< sinj A(»jCOs(c<', y,) = SA cos(/i,â?) A cos(n/, x)\
mais, d'une autre part, le triangle \cy est rectangle en 1 {fig. 2),
36 LIVRE I. — SECTION I. — GHAPITBB i.
01 étant rîntersection des deux plans tOf, nOn'; on a donc la condition
(y) cos(c,-, yt) = cos|Ae/cos{ Aw,,
et, par suite» Téquation précédente devient
sin Ae,sinA&),==SAcos(/i, x)âk cos(ii<'y x).
Angles de la droite rectifiante ax^ecles trois axes, — Si d'un point 0 i*on mène deux droites parallèles à ct et y,-, égales à Tunité, et qu'on joigne les extrémités par une droite, on a un triangle dont les cosinus des angles que les côtés parallèles à Ci et à // font avec les axes des x, y, z sont connus, et, si Ton applique à l'aire de ce triangle et à ses projections sur les trois plans coordonnés le raisonnement que nous venons de faire dans le numéro qui précède» on trouvera les trois équations contenues dans le type suivant :
is\n(Ci,yi)cos{pi,x)
(il)/
I = cos(c?ô y) cos(y,-, -8) — cos{c/, z) cos{y,-, y). (3)
Or, si l'on a égard aux équations (G) et (9), cette équation devient
2»sîn(c,-, y,) sinjAe/sinyAw/Cosfpi, x)
= A cos(/i, j) A cos(»/, z) — A cos(/£, z)A cos(iif, j).
Angles de la droite rectifiante avec les axes mobiles. — A cause de l'importance de la question, nous allons calculer analytiquement les angles que la droite pt fait avec les trois axes mobiles /,-, t/» n. Représentons par X) le facteur de cos(pi, x)f cos(p<> x), cos(ph z) dans les premiers membres des équations précédentes , multiplions ces trois équations chacune par chacun des facteurs cos(/i, x)^ cos(/jy y), cos(/o z) et ajoutons; on obtiendra' l'équation suivante :
V cos [pi, li)
= S cos(ii/, z ) [cos(/ô x) A cos(//,7) — cos(/„ /) A cos(/„ x)], et, en ayant égard aux valeurs des cosinus des angles que n/ fait
DBS POLYGONES GAUCHES. 37
avec chacun des axes x^ y^ 2, données par les équations (8), on trouvera
'OQ0s{pu //) = sinAeScos(n,-, ^)Acos(n„ x).
Or réquation
Scos'(/irf, ar)=:i,
dont on prend la différence, donne la relation
Scos(n,> a?)Acos(/itf, ^) = — 2sln'iAGi>«;
on trouve donc, réductions faites,
-, cos4-Aeisin^A(it)j
cos(pj, li) = • ='
V I — cos' y Ae/ cos* 7 Aw^
En procédant de la même manière, on trouvera
, , cosiA(k)<sin-rAei
cos(p.-, nO = - \ , . V '^
V I — cos' Y Awf coi' i Ae/
enfin, en remarquant que les trois axes mobiles /<, n/, n sont rectangulaires, et que, par suite, la somme des carrés des cosinus des angles que la droite p« fait avec les trois axes est l'unité, on trouvera
, . sinYA&)/sin^Aei
cos(p/, ri)= , ' ' ^ *
V I — cos* 7 Ae,- cos' 7 Aw,
li. Sphère circonscrite au tétraèdre dont les sommets sont en quatre points consécutifs du polygone. — Par le milieu des côtés //, /j+i, /j+a menons [fig*^) des plans perpendiculaires à ces côtés, et soit Q D; l'intersection du premier et du deuxième; C/H.iD/4.1 l'intersection du deuxième et du troisième; le point D/ commun à ces deux intersections est le centre de la sphère qui passe par les quatre sommets consécutifs. Soient Bi C,-, B/+i C,- les intersections du plan de l'angle Ae, avec les deux premiers plans normaux; B,viCi+i, B/^aC,.«., les intersections du plan de l'angle Aez+i avec le deuxième et le troisième plan normal. Comme les intersections D^d et Di+iCi+i sont perpendiculaires, la première au plan de
