LIVRE I. — SECTION I. — CHAPITRE I

Tangle Ae,> et la deuxième au plan de l'angle ^Zi^t; ces deux droites font entre elles l'angle A&)i, lequel est aussi égal à

Fig. 4.

1*angleCiB,-».iC,>M Appelons B|C/iii et Bf^,Ci>CiDiaj, L^; comme

les angles du triangle Bi^^tCiMi sont Ag»ô - — sAo^ô — ^ ^^<* on aura les relations

Cl- M( = a\ tang A&)jy

n M — ^/ cosaA&);

cos Awi

n M" ,cosaA&n

cosAot)/

Or le triangle DiM/Gi^.t donne les relations

D.M. "~ D/C.-i-CiMi

= sinA(ii)i-;

donc, si Ton a égard aux valeurs précédentes des divers seg-

DES POLYGONKS GAUCHES. 89

mentSy et que Ton réduise, on trouve l'expression suivante deL/ :

- a,+, — ai cos Ab),- o/^, — <i{ , .

L,== r—r = . . H a,' tang^Ao)/,

sinAo)/ sinAcjt °'

avec la condition

afi = ai cos Ae/ h sin Ae,-;

conséquemment, en représentant par A/ le rayon delà sphère, on obtient, en joignant les points Di et Ai par une droite, la relation suivante :

dans laquelle R/ représente le rayon du cercle qui passe par trois sommets consécutifs (n® 5).

Si le polygone est équilatéral, la valeur de ht devient

sin Aû)i ° '

Si le polygone est de plus équiangle, tous les apothèmes sont égaux, et la formule précédente devient

L<=:a<tang|A&)/.

Dans ce dernier cas

a/=: RjCOS j Ae/;

on a donc

L«- = Rj cos 7 Ae.- tang ~ A&)/;

et conséquemment

Jl? = R?( I 4- COS* Ae/ tang* \ Aw/).

Seconde expression. -- Si Ton remarque que le quadrilatère plan C/B/^i C/^i D/ est inscriptible, on a

DP Ci Ci-h

sinAci)/

et conséquemment

io LIVBE I. — SECTION I. — CHAPITRE I.

avec la relation

C,Ci-|.i = aj' -h fljV» — 2aî at^x sin Ao>,,

§ III. ~ Troisième système d'équations.

12. Troisième système d'équations, — Supposons connues (es positions des divers sommets du polygone par rapport à trois axes coordonnés; le polygone sera complètement déterminé, puisqu'il suffira de joindre par des lignes droites un sommet quelconque du polygone avec le suivant. Il résulte de ces données que l'on doit avoir trois relations qui font connaître les trois coordonnées; d'un sommet quelconque. Soient ces relations

(i3) Xi=f,[ti), rt=f,(ti), Zi=f,[ti).

dans lesquelles i prend toutes les valeurs entières, depuis i jusqu'à n.

De ces équations il est facile de déduire les longueurs des côtés, ainsi que les angles qu'ils font avec les axes coordonnés. Si nous supposons ces axes rectangulaires, on a les trois équations contenues dans le type suivant :

(/') ^ == cos{li. X), (3)

et la relation

au moyen desquelles on connaîtra les côtés en longueur et en direction; par conséquent on retrouve le système d'équations que nous venons d'étudier et desquelles on déduira tous les éléments du polygone.

13. Question inverse. — Dans celte question, il s'agit de déduire des équations ( /') et de la première des équations (4 }, qui forment le deuxième système d'équations, les équations du troisième système (i3).

DBS POLTGONBS GAUCHES. 4^

Considérons la première des équations (/); on peut récrire sous la forme

laquelle est équivalente à l'équation

Si dans cette équation on donne à i toutes les valeurs entières depuis o jusqu'à n — i, on aura une séîie d'équations dont la somme donnera l'équation suivante et les deux équations qui en résultent :

dans lesquelles x^y y.^ z» sont les coordonnées du premier sommet Ao, qui sont tout à fait arbitraires, et qui par conséquent permettent de placer le polygone déterminé de forme dans une infinité de positions dans lesquelles les mêmes côtés restent parallèles; la position du polygone n'est déterminée que lorsque l'on fixe les coordonnées x^, y^, z^ du premier sommet.

14. Plan de V angle d'un polygone. — Considérons (Jig* 3) deux côtés consécutifs du polygone A et li+tf et Ae^ l'angle extérieur de ces deux côtés; le plan de l'angle Aïki+iAi+t est le plan qu'il faut déterminer; prolongeons Ai-Âj+i d'une quantité égale A/4.1 M et joignons les deux points M et A/+3; on aura un triangle dont le double de l'aire, V<> aura pour expression le produit des deux côtés àsi, àsi+t par le sinus de l'angle Ad ; on aura donc la relation

Vi- = A^i- Asi+i sin Ae,-.

Cela posé, les projections des côtés A^+i M, A<.,.i Az+s sur les trois axes sont

Ax„ ' Aji, Azi, \xi -h A' Xi, Aji -f- A'ri, Az, -h A^z,; de sorte que, si Ton appelle X., Y/, Zt les projections du

4^ LIYBB 1. — BBCTION 1. — GHAPITBB I.

double de l'aire, Yt, sur les trois plans coordonnés perpendiculaires aux axes des x, des jr et des z, on a les trois équations contenues dans le type suivant :

( 1 4 ) Xi = ^Xi A» Zi — Azi A>7. .

Maintenant, si Ton appelle nt la direction de la normale au plan du triangle compté dans le sens où un spectateur devrait se placer suivant la normale pour voir la déviation s'effeciuer de gauche à droite, on aura les trois équations suivantes :

i tr^ / V Ar/ A*J5/— Az,A'>*i ,«,

(i5) cos /!/, x) = -. - V. — — a7-t-^a-» (3)

^ ' \ ' ' A5/(A5, -i- A**i)sinAe/ ^ '

qui feront connatlre la direction de la normale définie comme nous venons de le faire.

15. Angle du polygone. — Si l'on élève au carré les trois équations précédentes et qu'on ajoute, on obtient l'équation

Deuxième méthode. — Abaissons une perpendiculaire MN du point H sur Ai.Ht Ai^^; on a les relations

MN = MA.-4., — NAf+, , MN = A*.- sin Ac.-,

MAi+, =(A»x.-)»-+-(A«/i)»-f-(A»2.f, NAi+a = A,+, Ai4-, — A,+i N = A*i- -f- A'*/ — A^/COsAc/.

Si l'on substitue les valeurs trouvées dans la première relation, on obtient successivement les équations suivantes :

4Ai?sin' j Ae.cos»^Ae, = S(A'j:i)'— (2A5;sin»iAe, -h A*5.)% 4A5/sin4Ae, + 4A5,A»5.sin4Ae/ = S{A>jrO'— (A'^i)'

et finalement

4A5,- A5,+, s;n4 Ae;= S(A*:r,)> — ( A'5,)».

16. Flexion. — Considérons deux triangles consécutifs y V,, yVj+i analogues à celui que nous venons de définir. D'un point 0 menons deux droites OA, OA' proportionnelles aux

DBS POLYGONES GAUCHES. 4^

aires Y/, V,.».i et parallèles aux normales N,-, N|>, aux plan^ de ces triangles, et achevons le triangle OA V de ces perpendiculaires; Faire du triangle ainsi formée sera représentée par fW,-; d'après cela, on aura la relation

W, = V,-V,.+,sinAM/.

Si Ton représente par dG,-, ^t, %i les projections du double de l'aire de ce triangle sur les trois plans coordonnés des ^z, des zx, des xXf et par X la direction de la normale au plan de ce triangle comptée dans le sens où un spectateur devrait se placer suivant cette normale pour voir la flexion s'effectuer de gauche à droite, on aura les trois équations

Or les projections sur les trois axes des côtés du triangle proportionnels à V,-, V,-+i sont proportionnelles à Xi, Y,-, Z,-; X,>.i, Y/+I, Zi+i ; on aura donc les trois équations

;x;^ = Y, AZf — Z, AY/, et conséquemment on a les trois cosinus

...t cvr ^ Y,AZ,^Z,AY,

Vf ( V,- 4- A V,- ) SI n Aû>i avec la relation

s{Yi^Zi-Zi^YiY

sin'AGi>j =