COS(«/V»|, X) = -T -T T T ; T ; T : T
^ A5<4.i A^i A5,^.i A5i+3 sm Aci sin Ae/+t sin A6>r laquelle donne la relation suivante :
avec l'expression du sinus de A(d<
(Aw) sinAû)i = -r — T— . . A • A
àsi DJi+i asi^i sin Aei sm Ad-^i
La première de ces équations est une conséquence des considérations exposées au n® k^ et peut se démontrer directement. On a donc celte proposition :
La perpendiculaire au plan de deux directions voisines de la binormale est parallèle au côté du polygone et de direction opposée.
17, Deuxième expression de la flexion. — Du point A abaissons une perpendiculaire AN sur OA'; nous avons la relation
or
NA=V.sinAû>, AA' = AX.- -h AY.- -+- AZ.- , A' N = V. -t- AV. - V, cos Ack),.
Si l'on substitue ces valeurs dans l'équation précédente, on a successivement
V?sin>Aû), = (AX/)»-+- (AY,-)»-h (AZ,)»- (a V,- sin^ Ao,.- -+- Ay,)%
4V/sin»i Au),- -^ 4V,- AV.sin^Aw/ = S(AX,)'- (AV,)%
• 4V/V^. sinHAa)/ = S{AX,)»- (AV,)«;
or
V, = A^i A*i+i sin Ae, ;
donc
4 A^, ( A5n, )* A^i+i sin Ae, sin Ae.+i sin* ~ Aw,
= S(AX,)»— [A( Aj, A5,4.. sin Ae.)]'.
DES POLYGONES OAUGBBS. 4^
18. Polygone des centres du cercle passant par trois points consécutifs. — Soient x,-, y,-, Z/ les coordonnées du centre du cercle passant par les trois points A,-, Ai+i, Ai+a; en projetant successivement sur les trois axes coordonnés le triangle dont les côtés de l'angle droit sont 7 A«i* et la perpendiculaire abaissée du centre sur le côté Ai,-, on aura les trois équations contenues dans le type suivant :
Xi -4- -^ Ao:,- — X,- = Ui cos( r,-, x)\ (3)
et en ayant égard aux valeurs des cosinus des angles que r„ normale principale, fait avec les trois axes, valeurs données par les formules (la'), on obtient les équations suivantes :
Xi H- I Aa?,- — X,-
= ^ÎH^ t^ cos(//, j?) -h 2 sinHAe,cos(//, x% (3)
dans lesquelles il faut substituer la valeur de Ui donnée par
la formule
combinée avec la formule (R) du n** 5.
19, Polygone du centre des sphères passant par quatre sommets consécutifs. — Soient a,, (3,-, y,- les coordonnées du centre de la sphère passant parles quatre points A,-, A,-^,^ AiH.]> A,+8. En projetant successivement sur les trois axes le périmètre du triangle DjB<'C,* {Jig. i)» en appelant X/ la longueur D,B|-, on aura les trois équations
Jl,iCOs(JU,-, a;)= L,cos(/ic, a;)-+- a£jcos(r,-, x); (3)
ces équations font connaître la longueur Jl,- et les angles qu'elle fait avec les trois arcs coordonnés. On aura donc aussi les trois équations
^PiH-tAx, — a,= X,cos(«''»i, x)j (3)
lesquelles feront connaître les coordonnées du centre de la sphère.
46 LIVRB I. — SECTION 1. — CHAPITRE I.
L*ana]yse conduirait également aux coordonnées du centre. En effet ce point est l'intersection de trois plans normaux menés du milieu de trois côtés consécutifs; il est donc donné par trois équations dont la première est l'équation du plan normal au milieu de //, la deuxième une combinaison de cette équation et de l'équalion du plan normal mené au milieu de li^i^ et la troisième une combinaison des premières équa* tions et de l'équation qui se rapporte au plan normal mené du milieu de /,+i; on a donc, en posant, pour abréger»
les trois équations suivantes :
aci AX| ■+■ (3/ A/-,- -H y,- àZi = M, ai A* Xi 4- P; Ay ,• -f- yi A' z,- = AM , oci^'Xi -h P/ A* r,' ■+■ yiA*Zi = A»M,
qui donnent les coordonnées du centre de la sphère passant par quatre sommets consécutifs, et dans lesquelles il n'entre que les différences des coordonnées.
L'analyse donnerait également les coordonnées du centre du cercle passant par trois sommets consécutifs; il n'y aurait» en représentant par a,, P/, yi ces coordonnées, qu'à remplacer la dernière par l'équation
(«i - Xi)\i -h ((3i — r*)Yi -h {yi - Zi)Zi=o,
qui représente un plan passant par trois sommets consécutifs.
§ IV. — Application.
20. Du polygone hélicoïdal. — Soit un prisme régulier dont la base a un nombre n de côtés; on plie un pian contenant une droite sur ce prisme, celte droite se transforme en un polygone hélicoïdal. Proposons-nous d'étudier ce polygone d'après les équations de ses sommets.
Équations des sommets* — Si l'on pose
ti = > A^ = — y
DES POLYGONES GAUGHB8. 4?
les équations des sommets da polygone sont, en représentant par a le rayon du cylindre circonscrit,
* . ^ Ji h ^
xi-=ia costi, Vi = a sm /,-, z,- = i - = — /,-.
, Les différences premières sont
A^,- = — - aa sm ( /,• h 1 sin — >
. /, AA , M Aj,= aacosi //H | sln — >
Les différences deuxièmes sont
A':c, = —4^cos(//-h A/) sin* — ?
Ayi = -- 4«sm( //H jsin» — »
Les différences troisièmes sont
A» j:, = 8a sin ( /,• H j sm* — »
A'^;= — 8acos(/,H jsm» — >
Les binômes X„ Y/, Z,- sont
X,= i*^ sin(/, 4- AOsin» ~ A/,
TT 2
Y, = - 4*? cos ( /, -h Ar )sin« — A/,
„ Q , A/ . ,A/ Z, = 8a* cos — sm* — •
Les différences premières donnent, en représentant par X
48 LIVBB I. — SECTION I. — CHAPITBB I.
une auxiliaire.
. At 2asin —
Or, sî l'on pose tangv = y » on a
asin — \/ an sm —
ncosv smv ^nsinsv
On conclut de celte équation que le rapport de A^ à A/ est constant.
21. Cosinus des angles des côtés avec les trois axes rectangulaires. — On obtient les formules
cos{ /,-, x) =: — aa sin U,- h )
V sin —
/"AV sin —
cos
(^*,r)= 2acosf^-+- —\ ^.y
cos(/,-, ^)= — V— = -— r- ;
on déduit de ces cosinus leurs différences
sin' — Acos(//, x) = — 4«cos(/,-i- AO — T-^?
. ,A/ sin' —
A cos( ti, j) = — 4 « sin (^1 -{- ùkt) — r-^ ,
LxSi
A cos( ^,-, z ) = o.
DES POLTGONIS 6AUGBB9. 49
On a par conséquent les équations
sin' — sitïj^ti cos (Ciyx) =— 2a cos (/,-+- At) —^ — 5
• A^ sin' —
sîn|A6,cos(<?;,7) = — 2asin(^,4- A/) — — , cos(c,', z) =0;
et, en élevant au carré et en ajoutant, où trouve
2asin' — sin i Ae/ =. 7
ei, par conséquent,
(e) sln7Ae, = sin — sinv;.
donc
cos(c?,-, a:)= — cos{ti -f- A/),
cos(c/, 7) = — sin(ri -t- A/), cos(c/, z) = 0.
La formule (e) prouve que tous les angles du polygone sont égaux. On voit de plus par la 'dernière des équations précédentes que la corde c,- est perpendiculaire à l'axe des z.
22. Binormale. — Les équations (8) du n^ 8 donnent les formules suivantes :
cos — ■ cos(/i|', x) = — T— sin (/,-+- A/),
2 fl IJiSi
Ae, , X A /. A V
cos — cos(/i„r)= r— cos(/*-|- AO,
Ae/ , , as'inAl
cos — cos(n/, z)
2 ^ " ' âiSi
5o LITRB I. — SBGTION 1. — CHAPITRE I.
Soit fi une auxiliaire, telle que
on a
iang^ungv=— ^5
cos —
les formules précédentes donnent
A L i/— , H-a»sin'A/ Ae,- /* , . V /i' cosv
cos — = --r— sln~' a = ^ = -: — ,
cos(ni> ar)= sin/x si n (/<•-+- A/), cos{n,-, j) = — sin/x cos(/f -h A/), cos{ntf 2)= cosfx.
Les différences premières de ces équations sont
Acos(iii, x) = 2Sin|xcos( /iH isln — >
Acos(/iô /) = 2sinfxsm ( ^i-h - — Ism — »
Acos(n,-, 2)=:o.
La valeur constante de cos(ii/, z) montre que le plan d*un angle quelconque a toujours la 'même inclinaison sur le plan des xy.
sinjAû),cos{y,-, a:) = sin|xsin — cos (/,-+- ^^^^U
23. Angle de deux plans consécutifs. — Les formules (9) du n® 8 deviennent
.Au), , , . . M , (^ 3AA sm — cos(yf, /) = smftsin -- sln(/,H J»
cos (y,, jï) = 0.
Ces formules montrent que la corde y, de l'angle Ac».- est constamment perpendiculaire aux arêtes latérales du prisme.
DBS POLTGOHIS 0AUCBB8. 5l
Si Ton élève ces équations au carré ei qu'on les ajoute» on obtient la relation
.^ Asin —
(w) sin7A()i>i=:sin/xsin — =
l/~ -f-a*sin»A/
Ceue équation, qui donne l'angle de deux plans consécutifs du polygone hélicoïdal, montre que cet angle reste constant quel que soit le côté que Ton considère du polygone.
Si Ton a égard a celte dernière valeur, on obtient les cosinus des angles que la corde yt fait avec les trois axes fixes
cos(y,', x) = cos I /,' H 1 9
cos(y/, j^) = sln f/,H- — U
cos(yi, z) = o;
et Ton voit que cette ligne parallèle au plan des xy fait avec la projection du côté sur le même plan un angle constant
égal a
2^. Normale principale. -— Les équations (12) du n*" 9 donnent immédiatement
COS 7 Acf COS (ri, ;p) = — cos(^-f- A/) — 't^ sin» — sin (/,-+- — j»
4rt' A/ / A/\ ros|A£iCOs(r/,7-) = — sin{/,-t- A/)-f- ^ sîn' — cos (/, H j»
cost Ae/ cos( r,-, z) = — r-j sin^ —
Ces formules montrent que la normale principale r, fait un angle constant avec Taxe des z. On vérifie ces équations en élevant au carré chacune d'elles, et en les ajoutant membre à
membre, on retrouve la valeur de cos — ^•
Oa LIVBB I. — SECTION I. — CHAPITRE I.
S5. Droite rectifiante. — Si l'on fait usage de la formule (y) du n^ IO9 on irouve, en ayant égard aux valeurs précédentes,
cos{c,> y,) = — cos — > s\n[Ci, y,) = sin — •
Donc l'angle des deux cordes c^ et y,- est constant et supplé*
mentaire de — •
Si- Si l'on cherche les angles que la droite rectifiante pi fait avec les trois axes fixes, on obtient, au moyen des équations (i i) du n"* 10, les résultats suivants :
COS(/l,-, a7) = 0, C0S(;?|,/) = O, COS(/?f, J5) = --I.
Ainsi la droite rectifiante est parallèle à l'axe des Zy ce que l'on sait déjà par le mode de génération du polygone hélicoïdal.
Si l'on cherche les angles que la droite rectifiante pi fait avec les axes mobiles 0/,-, On^, Or,-, on obtient les résultats suivants :
cos(po ni)=: — COS/X,
cos(/»„/,) = -^,
, . 2asinix . ,A^
cos(p.,r,) = -— ^-^sin'-. •
26. Cercle passant par trois sommets consécutifs. — Si Ton se reporte à la formule (R) du n? 5, on obtient, après quelques réductions faciles, •
sinv
Coordonnées du centre. — Considérons le triangle formé par le rayon B, la perpendiculaire abaissée du centre sur le côté Asi-et ce demi-côté; la longueur de cette perpendiculaire est
V sin'y 4
a cos —
siny Si Ton appelle x„ y,, z, les coordonnées du centre, on aura
