DES P0LT60NB8 GAUCHES

les trois équalions

zacos — sinij.

Xi — ^ Ax,- — Xf = :

sinsy

X cos(^-t-A/)-hsln»vsin — sln(/,H ) U

At .

2acos — sinp

yi — i A/, — y, = ;

X fsin {/,• 4- A/) — sin'v sîn --^ sin [ // + -^ j I

2acos — sinjtx

Z, — j A^, — Zf = r-^

sin2y

X ( - sin2vsin — 1 = - sin/^slnA/.

Si dans ces formules on remplace xt, 7*/, zt et leurs dirférences par leurs valeurs tirées du n® 20, et qu'on développe suivant les sinus et cosinus de /;, on trouvera pour x/, y^ et Z/ des valeurs de même forme que les valeurs de Xi, Xh ^i» et conséquemment le polygone formé par les centres des cercles passant par trois sommets consécutifs du polygone hélicoïdal est un second polygone hélicoïdal de même espèce que le polygone proposé. Ce second polygone est tracé sur un prisme régulier dont les arêtes latérales sont perpendiculaires au plan des xy.

27. Sphère passant par quatre sommets consécutifs. — Les formules du n^ 11 donnent

, ,At . , .At

a' cos* — sm*a sm* —

- 2 *^ 2 Li =

sin'v / A^

i/ I — sin!fxsin' —

I ~ sin'a sin* —

I — sin'asin^ — ' 2

54 LIYBB I. — SECTION 1. — CHAPITRE 1.

L/ ayant une valeur conslante, on voit que le polygone dont les sommets sont les centres des sphères passant par quatre sommets consécutifs est Hé avec le polygone, lieu des centres des cercles passant par trois sommets consécutifs, par cette condition que les sommets du second s'obtiennent en prolongeant les côtés du premier d'une longueur constante L.. Cette longueur devient de plus en plus petite à mesure que le nombre des côtés d'une spire d'un polygone proposé augmente, de sorte qu'il y a une coïncidence absolue entre ces deux polygones lorsque le polygone proposé se transforme en hélice.

Les question^ que nous venons de traiter donnent la solution complète du problème suivant :

Problème. — Étant données les équations des sommets du polygone hélicoïdal^ trouver les équations élémentaires ainsi que tous les éléments de ce polygone.

28. Problème. — Étant données les équations élémentaires d'un polygone suivantes :

^Sj sinjAei ^ sinjAci)!- p

sin — * *

dans lesquelles les quantités A, B, C sont constantes, construire le polygone»

Ces équations montrent que tous les côtés du polygone sont égaux, qu'il en est de même des angles et des inclinaisons des plans de deux angles consécutifs; on peut donc, d'après les méthodes données au n"* 3, construire le polygone, que l'on reconnaît ainsi être un polygone régulier hélicoïdal; mais on peut aussi pratiquer la construction suivante.

Supposons que A^=: — ; comme les quantités A, B, C sont

des constantes, il sufOra d'égaler ces quantités aux valeurs des premiers membres, fournies par les équations (5), (s), (gi)), des n"' 20 et suivants; on obtient ainsi les trois relations

:A, smy=:B, sin//. = L.

smv

DBS POLTGORBS GAUCHIS. 55

On déduit des deux premières Téquation

AB

laquelle fait connaître le rayon a du cylindre circulaire droit circonscrit au prisme hélicoïdal. Si l'on a égard aux équations de condition

^an . A/ h

langv = —tr sm — > tangu = ; — r- ?

on trouve» par la multiplication et la division de ces deux équations, les deux relations suivantes :

2 BC /i' y I — c*