DES COURBES GAUCHES

§ I. — Premier système d'équations. — Équations élémentaires

DE LA courbe.

30. Définitions. — Une courbe gauche peut êlre considérée connine un polygone gauche d'une infinité de côtés. Si Ton suppose un mobile parcourant la circonférence de la courbe» la direction que suit le mobile, quand il parcourt un côté infiniment petit, donne la direction de la tangente ou de rélément linéaire de la courbe.

Le plan de deux éléments constitutifs s'appelle plan osculaieurde la courbe; c'est le plan qui passe par trois points infiniment voisins.

L'angle que deux éléments infiniment voisins font entre eux est V angle de contingence de la courbe.

L'angle que deux plans osculateurs infiniment voisins font entre eux est Vangle de flexion ou de torsion de la courbe.

Pour déterminer la tangente à la courbe, il suffit de connaître les angles que la partie positive de la tangente fait avec les trois directions positives de trois axes coordonnés.

On détermine l'angle de contingence de la courbe de la manière suivante : du. sommet de l'angle et dans son plan, on décrit avec un rayon égal à l'unité un arc de cercle; la grandeur et la direction de cet arc infiniment petit, compté en allant de la première tangente à la seconde, donnent la grandeur et la direction de l'angle de contingence.

On regarde comme étant la partie positive de la normale à un plan osculateur celle suivant laquelle un spectateur étant placé voit l'arc de contingence aller de gauche à droite ou

58 LIVEB I. — 8ICTI0H 1. ^ CHAPITRE 11.

bien de droite à gauche. Une fois ce choix fait, il faut rester Odèle à rhypothèse que l'on a faite.

L'angle de flexion se détermine par la grandeur et la direction de l'arc de cercle infiniment petit, décrit du sommet de l'angle de deux normales positives à deux plans osculateurs infiniment voisins avec un rayon égal à l'unité.

31. Des équations élémentaires d'une courbe. — Revenons maintenant au n** 2. Si le polygone considéré devient infinitésimal, les formules (4) de ce numéro deviennent

Elles expriment les rapports différentiels de l'élément de l'arc de courbe, de la déviation et de la flexion à la variation du paramètre /, qui fixe la position d'un point sur la courbe. Ce sont les équations élémentaires de la courbe, parce qu'elles font connaître directement et sans intermédiaire les trois éléments : arc, déviation^ flexion. Quand les trois fonctions /, 9 et ^ seront données, la forme de la courbe sera déterminée, et, pour que sa position le soit, il suffira de se donner un point de cette courbe et la direction de la tangente en ce point.

Si, au lieu de prendre la variable / pour variable indépendante, on prend l'angle e résultant de l'intégration de la deuxième des équations [4]

(2) e-e.= r?(/)rff,

les équations élémentaires de la courbe se réduisent à deux, qui sont

la première donnant le rapport de l'élément de l'arc de courbe à la déviation, et la seconde le rapport de la flexion a la déviation, c'est sous celte dernière forme que ces équations seront le plus souvent employées.

La définition, qui sera la traduction géométrique des équa-

DES GOURBIS GAUCHES. 5g

lions élémentaires d'une courbe, sera appelée définition élémentaire de cette courbe, et elle aura cet avantage sur les autres définitions de la même courbe, qu'elle n'introduira aucun élément étranger. Ainsi l'hélice est la courbe dont les rapports de Tare et de la flexion a la déviation sont constants. Le but de l'analyse consistera à déduire les différentes propriétés de la courbe des deux équations élémentaires.

32. Nature géométrique des équations élémentaires, — i^ Si nous concevons que l'on rabatte successivement, sur un plan osculateur initial, la série des plans osculateurs en faisant tourner successivement chacun d'eux aulour de l'intersection commune de ce plan avec le plan infiniment voisin, pendant cette opération, les flexions seules seront détruites; mais la longueur des éléments linéaires et les déviations ne seront pas changées, et la courbe sera transformée en courbe plane. Or, dans cette courbe plane, la somme des déviations représente l'angle des deux tangentes extrêmes, de sorte que, si et représente l'angle que la tangente initiale fait avec un axe fixe situé dans le plan de la courbe, par exemple Taxe des x^ e sera l'angle de la tangente finale avec le même axe. D'après cela, les deux premières équations [4]i ou bien la première équation [4']» sont les équations élémentaires de cette courbe plane, que, pour cette raison, nous appelons caractéristique plane de la courbe gauche.

a*" Concevons que, par le centre d'une sphère dont le rayon est l'unité, on mène une série de rayons parallèles à la suite des tangentes de la courbe gauche donnée, les extrémités de CQS rayons formeront une courbe sphérique telle, que l'élément d'arc de cette courbe sera, en grandeur et en direction, la déviation de la courbe non plane ; l'ensemble des rayons formera une surface conique telle, que l'angle de deux plans tangents infiniment voisins sera Tangle de flexion de la courbe donnée, et, comme cet angle est le même que l'angle de deux arcs de grands cercles infiniment voisins tangents à la courbe sphérique, l'angle de flexion de la courbe donnée n'est autre chose que l'angle de déviation ou de contingence géodésiques de la courbe sphérique; les deux dernières équations [4]> d'à-

6o LITRE I. — SBGTION 1. — CHAPITRE II.

près les principes que nous avons posés dans noire Analyse infinitésimale des courbes situées sur une surface^ sont donc les équations élémentaires de la courbe sphérique, puisqu'elles font connaître pour chacun de ses points Télénuent d'arc et l'élément de contingence géodésique de cette courbe. On arrive donc à cette proposition :

Théorème. — La courbe sphérique^ lieu des extrémités des rayons parallèles aux tangentes de la courbe gauche^ est telle que son arc élémentaire et son angle de contingence géodésique égalent, le premier la déviation de la courbe gauche^ et le second l'angle de flexion de cette courbe.

C'est à cause de cette propriété que nous appellerons la courbe sphérique caractéristique sphérique, et nous verrons que celte courbe donne la détermination de l'une des deux questions du problème des courbes gauches, la plus difficile et la plus importante.

Si l'on développe le cône dont il vient d'être question sur le plan tangent initial, chacune des rotations autour des génératrices successives qu'entraîne ce développement est égale à l'angle de flexion de la courbe gauche correspondant à cette génératrice, et l'angle compris entre la génératrice initiale et la génératrice finale après le développement sera e — Co, de telle sorte que, si s^est l'angle de la première génératrice avec un axe fixe situé dans ce plan, l'angle e sera l'angle de la seconde avec le même axe.

33. Propriétés de la caractéristique plane. — Examinons tout ce qui résulte de la connaissance des équations élémentaires de cette caractéristique.

Cercle osculaieur. — C'est le cercle qui passe par trois points infiniment voisins de la courbe gauche. So\eni{Jîg. 5) A, Al, Ai ces trois points; par le point Ai menons le diamètre du cercle Ai D, prolongeons la corde AAi d'une quantité A, A' qui lui soit égale, et décrivons, *du point Ai comme centre, un arc de cercle A'I compris entre les deux côtés Ai A' et A, A,; tirons les cordes AD, AsD; les angles A' Ai As et ADA, sont égaux comme ayant les côtés perpendiculaires. D'après cela, l'arc

DBS G0UEB£8 6AUGHB8. 6l

de cercle AÂt As égale AiD.Ae, et comme l'arc A Ai Ai a la même limite que ^s-h{às 4- A'5), arc de courbe correspon-

dant, en appelant p le rayon du cercle limite, on a la formule

Normale principale. — D'une autre part» il est facile de voir que les trois lignes AD, Ai D, As D ont la même limite que l'arc de cercle A'I, c'est-à-dire la normale à la courbe située dans le plan osculateur, normale qu'on appelle normale principale.

Nous serions arrivé aux mêmes conclusions en partant de l'équation (R) du n** 5 et en passant à la limite.

Comme la courbure de ce cercle mesure la courbure de la courbe, on rappelle aussi cercle de courbure. De là résulte la proposition suivante :

I® V équation élémentaire de la caractéristique plane donne le rayon de courbure de la courbe gauche donnée.

3Jt. Rectification de la courbe. — Intégrons les équations [4] et [4'] entre limites, nous aurons les trois équations suivantes :

[i]s^s,=Sf{t)dt, B^u=M^)dt, ^^r^.=f^(t)dt, ou encore

62 LIYRB 1. — SBGTION I. — CHAPITRE II.

on voit que les deux premières équations [i]» ou la pre* mière [i'], sont les intégrales de l'équation élémentaire de la caractéristique plane. De là résulte que :

a^ La rectification de la courbe gauche est donnée par l'intégration de l'équation de la caractéristique plane.

Quadratures. — Supposons qu'à partir du point de contact on porte sur chaque tangente à la courbe gauche une longueur variant d'une tangente à Tautre, d'après une loi indépendante de la flexion de la courbe. Appelons u cette longueur; l'aire A, balayée par la longueurs qui est une fonction de 6, aura pour expression entre limites

or cette aire est celle qui aurait été balayée par la même longueur u de la tangente à la caractéristique plane comptée à partir du point de contact.

35. Coordonnées rectangles de la caractéristique. — Rapportons maintenant un point quelconque de cette caractéristique plane à deux axes orthogonaux OX, OY situés dans son plan, et soient X, Y les coordonnées de ce point par rapport à ces axes. Si l'on remarque que ^X et ^Y sont les projections de l'arc ds sur les axes, et que la tangente en ce point fait avec l'axe des X un angle e, on aura les deux équations

dX d\

—j- =:cose, — T- = sin6.

ds ds

Si l'on a égard à la première équation [4']» qui donne la valeur

ds de ^9 on aura, en intégrant entre limites, les deux équations

Ti'—\9=l /,(e)coserfc, Y--Yo=/ /(e)sinerf€,

qui sont les équations de la caractéristique plane en coordonnées rectangulaires.

36. Propriétés de la caractéristique sphérique. — La caractéristique sphérique donne, de son côté, d'autres éléments non moins importants de la courbe gauche donnée.

DKS COURBES GAOCBES. 63

Binormale. — C'est la normale au plan osculateur» et elle est appelée binormale, parce que, si Ton mène en un point d'une courbe gauche une normale à la tangente, il y en a une inûnitéy mais il n'y en a qu'une seule qui soit normale à deux directions infiniment voisines de la tangente. La caractéristique sphérique donne la direction de la binormale; considérons^ en effet, deux points infiniment voisins r, Ti de cette caractéristique; si l'on élève par le centre O de la sphère une normale au plan O, t, ti, de manière que l'arc qui va de t en ti soit vu de gauche à droite par un spectateur placé suivant cette normale, on aura la direction positive de la binormale. Il suffira donc de prendre le pôle de l'arc du grand cercle tangent en T à la courbe sphérique, et ce pôle v sera l'extrémité de la direction Ov.

Direction du rayon du cercle osculateurà la courbe donnée. — Ce rayon, ayant à la limite la même direction que l'arc de cercle compris entre deux directions infiniment voisines de la tangente à la courbe donnée, a la direction de l'arc tti de la courbe sphérique, c'est-à-dire la direction de la tangente à cette courbe.

Angle de troisième courbure. — C'est l'angle de deux directions positives infiniment voisines du rayon de courbure de la courbe donnée, et par conséquent l'angle de contingence de la courbe sphérique.

37. Plan rectifiant. — C'est le plan de la tangente et de la binormale à la courbe donnée.

Droite rectifiante. — C'est l'intersection de deux plans rectifiants infiniment voisins. En effet, si l'on se reporte au n"" 4, on voit que la droite OP et l'intersection des deux plans NOT, NiOTi se confondent à la limite. 11 résulte de là que la droite rectifiante de la courbe donnée est en un point la droite menée par ce point perpendiculairement à deux directions infiniment voisines du rayon de courbure. Cette droite n'est donc autre chose que la binormale de la caractéristique sphérique.

Proposons-nous de calculer les angles que la droite rectifiante fait avec la tangente et la binormale de la courbe

64 LIVRE I. — SBGTION I, — GBAPITaB II.

donnée. Appelons m la droite rectifiante; si Ton se porte au n® k et qu'on passe à la limite, on aura, en faisant usage des deux dernières équations,

,^, sînfcj, t) sinfcT, v) i

de d(ù ^c((ù' 4- de' '

nous avons donc la position de Taxe de rotation qui doit amener par une seule rotation un élément linéaire de la courbe gauche dans la direction de l'élément linéaire infiniment voisin.

La grandeur de cette rotation est donnée par Tangle zrnzt qui, d'après la valeur du sinus de NPT' (numéro cité], devient

égal à v/c^a)'+ e/e' lorsqu'on passe à la limite; si l'on appelle cet angle dn, on a la relation

(6) rf8'==rfa)»-^-rfe^

Calcul de l* angle de troisième courbure. — Le même calcul peut être fait au moyen de la caractéristique sphérique; en effet, considérons un troisième point t2 de cette courbe, joignons par des droites les points r, Ti ainsi que Ti, Ti; soit prolongé le côté TTi jusqu'en a {/tg. 6); projetons le côté TiT, sur

Fig. 6.

le plan tangent à la sphère mené suivant rti et sur le plan normal mené suivant le même élément; soient TiC, ttfr ces projections; les angles de ces deux plans avec le plan osculateur tti ts sont complémentaires et les mêmtes que Or et Ov font avec Om, puisque ces droites sont respectivement per-

DBS COURBES GAUCHES. 65

pendiculaires à ces plans; on a donc les deux équations ar, b = aTiT2Sin(cj, t), «Ti c = aTiT2C0S(cj, t).

Or l'angle or, c est rfw; l'angle ar,6 esl l'angle de deux perpendiculaires aux deux positions infiniment voisines Or, Or., perpendiculaires situées dans le mènne plan; cet angle est donc égal à de, de sorte que, si l'on appelle rfe, l'angle de contingence de la courbe sphérique, on a les deux équations

de . , . dM

— = sin(cj, t), -— -r- = cos(cy, r),

desquelles on conclut que dsi est égal à dn, comme d'ailleurs on le voit directement d'après la définition de ces angles.

38. Usages de l'équation de la caractéristique sphériqne. — Représentons par H l'angle que la direction Oxs de la droite rectifiante fait avec la direction de la tangente; les deux équations précédentes donnent, en ayant égard à la deuxième des équations [4']»

(7) COtH= — 4*,(e), rf«=:rf€v/l4-[^.(£j]*.

Donc le second membre de l'équation de la caractéristique sphérique est égal» au signe près, à la cotangente trigonométrique de l'angle que la droite rectifiante de la courbe donnée fait avec la tangente à cette courbe.

D'une autre part» si Ton construit la surface dévetoppable, lieu des positions successives de la tangente à la caractéristique sphérique, et qu'on développe cette surface sur un plan, l'élément d'arc de et l'angle de contingence dn ne sont pas altérés par ce développement, et la seconde des deux équations précédentes sera l'équation élémentaire de cette, courbe plane. Dans cette courbe, la somme des déviations dn sera l'angle compris entre deux tangentes extrêmes, de sorte que, si la tangente initiale fait avec un axe fixe l'angle »o> » représentera Tangle de la tangente firtale avec le même axe, et Ton aura l'équation