LIVRK I. — SECTION I. — CHAPITRE II

qui donnera la valeur de cet angle en fonclion de l'arc s; cette équation donne aussi la rectification de la caractéristique sphérique; il suffit de la résoudre par rapporta e.

On aurait également pu obtenir la rectification de celte courbe en intégrant la deuxième des équations [4']*

39. Propriétés résultant de la combinaison de deux caractéristiqnes. — Certains éléments de la courbe gauche donnée dépendent à la fois des deux caractéristiques.

Rayon de flexion. — Si l'on construit une longueur donnée par le rapport de l'arc ds à la flexion dtùy et qu'on porte cette ligne» à partir du point de la courbe, dans la direction de l'arc de cercle qui mesure l'angle de deux binormales infiniment voisines, on a le rayon de flexion de la courbe, qu'on appelle aussi rayon de deuxième courbure, SI l'on appelle v ce rayon, en divisant l'une par l'autre les deux équations élémentaires [4'] de la courbe, on obtient

On déduit de là que le rapport des deux seconds membres des équations de la caractéristique plane et de la caractéristique sphérique est le rayon de flexion de la courbe gauche donnée.

On reconnaît que les directions des rayons de première et de deuxième courbure sont les mêmes, parce que, si l'on se porte à la courbe sphérique, les arcs rr' et vv' ont, à la limite, des directions parallèles entre elles et à la normale principale de la courbe donnée.

Soitp le rayon de première courbure de la courbe donnée; en combinant Téquation précédente avec la première des équations ( 7 ), on trouve

- = — tangll,

relation qui lie les deux rayons de première et de deuxième courbure avec l'angle H de la droite rectifiante et de la tangente à la courbe donnée.

WiÈ COURBES GAUCHKS. 67

Hayon de troisième courbure. — Si Ton conslruil ane longueur égale au rapport de l'arc ds à Tangle dn de troisième courbure, et qu'on porte cette ligne à partir du point de la courbe dans la direction de l'arc de cercle qui mesure l'angle de deux directions infiniment voisines du rayon de courbure, on a le rayon de troisième courbure; si Ton appelle Si ce rayon, on a, par suite des équations (7),

on déduit aussi des équations (5) les deux relations suivantes :

- = -s.nH. -=-cosH.

desquelles on tire la relation