DIS COURBES GAUCHES

lesquelles font connaître le rayon de courbure et les angles que ce rayon fait avec les trois axes.

Jngles de la binormale avec les trois axes. — Si l'on passe à la limite, les équations (8) du n® 8 fournissent les trois suivantes :

(12) rfecos(v, ;r)= Tj rfr, — T, rfr,,

lesquelles donnent les angles de la binormale avec les trois axes, et, de plus, une nouvelle expression de l'angle de contingence provenant de ce que, si l'on élève ces trois équations au carré et qu'on ajoute membre à membre, on trouve l'équation

et conséquemment

ds*

—- = S(Tr dr, — T, rftr)'.

42. Flexion de la courbe. — Nous avons déjà vu (39) que les directions de deux arcs de cercle qui mesurent, l'un l'angle de contingence, l'autre l'angle de flexion, sont les mêmes; d'après cela, si l'on passe à la limite, les équations (9) du n"" 8 deviennent

(i3) d(ùCOs[pf x) = dcos(Vf x). (3)

Si l'on divise ces équations respectivement par les équations (i 1), on obtient les trois relations suivantes :

, , , rfw rfcos{v, ^) Trdzs — udrr ,^.

de dcosiZfX) dz^

l'une de ces trois équations fait connaître le rapport-^» ce

qui est la troisième équation élémentaire de la courbe gauche. On peut aussi élever au carré les équations (i3) et ajouter; en obtient ainsi

(rfw)' rfû>'=S[dcos(v, x)y=z 2-S(zrd'T,^T^d'zyy.