LIVRE 1. — SECTION I. — CHAPITRE II

On peut obtenir une troisième expression de ia flexion résultant du théorème suivant :

Théorème. — La perpendiculaire au plan de deux positions infiniment voisines de la binormale est de même direction que la tangente à la courbe ou de direction opposée.

Soient deux positions v, v' inflniment voisines de la binormale v; menons d'un point deux parallèles à ces directions, égales à Tunité, et achevons le triangle; la perpendiculaire au plan de ce triangle est parallèle à la tangente à la courbe, puisque les deux binormales v et v' sont perpendiculaires Tune et l'autre à la seconde position de la tangente t; de là résulte que la perpendiculaire en question est, à la limite, parallèle à la tangente r. On voit que la direction de cette perpendiculaire est la même que la tangente t pour un spectateur qui, placé suivant cette tangente, voit le mouvement de la binormale s'effectuer de gauche à droite et de direction opposée, lorsque le spectateur placé suivant cette tangente voit le mouvement s'effectuer de droite à gauche.

Ce théorème posé, l'aire du triangle considéré est \d(ù; et, si Ton projette cette aire sur les trois plans coordonnés, on aura les trois équations suivantes :

— rfa)COs(T, J3) = cos{v,a:)rfcos(v,r) — cos(v,j)rfcos(v, j;). (3)

Si l'on remplace dans ces équations les différentielles des cosinus des angles que v fait avec les trois axes, par leurs valeurs tirées des équations (12), on obtient les équations

— rferfa)r,=:COS(v,J?)(T,rf='T,— T,d'T,) — C0S(v,7)(r^rf'Tx — Ts(/=T^),

que Ton peut écrire sous la forme suivante :

— cferfwT, =:t,[cos(v, x)d'^rx -+- cos(v, j)rf*T^ -h cos(v, Z)d^Zt]

— ^/tï[t,cos(v, ^) -f- T;..C0S(V,7) +T, cos(v, z)];

et, comme la seconde ligne est nulle parce que l'angle des deux directions v et t est droit, on tombe sur l'équation suivante :

(rffi, dùi) dedfji ^ S[cos(v, x)d^Zx]f

DC6 COURnS GAUCRKS. 71

de laquelle on déduit

Sari

qui est la nouvelle formule de la flexion que nous nous proposions d'établir.

43. Kafon de flexion. — Pour obtenir le rayon de flexion au moyen des données de la question, il surfit de diviser l'une des trois expressions de la flexion que nous venons de trouver par l'équation (ds); on obtient ainsi l'une des trois expressions suivantes, en représentant les dérivées par rapport à / d'une variable par cette variable accentuée

/( < ) Sri'

44. Droite rectifiante. — Cette droite étant perpendiculaire à deux positions infîniment voisines du rayon de courbure, on obtient, en raisonnant comme précédemment (41), les trois équations suivantes, en représentant par is la direction de cette droite,

rf»cos(tïT, z)=cos(p, ^)rfcos(p,y; — cos(p,7)rfcos(p, :r;. (3)

Or, si l'on a égard aux équations (i i), un obtient les trois nouvelles équations

(l4) rf«COS(cJ, 2)= — ((/T,rf»T, — dXjd^Xx)y (3)

qui font connaître les angles que la direction js fait avec les trois axes.

Angle de troisième courbure. — On déduit des équations ( i4)9 dont on fait la somme, après élévation au carré, Téquation suivante :