LIVRE I. — SECTION I. — CBAPITRR II
on en déduit l'expression de la troisième courbure de la Cjourbe donnée
Nous démontrerons plus loin des expressions plus simples de ces deux éléments.
§ m. — Troisième systèmb d'équations.
kS. Équations cartésiennes de ta courbe^ -^ On donne les coordonnées x, jr, z d'un point quelconque de la courbe en fonction d'une variable t, et il s'agit d'exprimer, au moyen de ces coordonnées et de leurs différentielles, tous les éléments de cette courbe. Nous supposerons le système rectangulaire et les coordonnées données par les équations
Tangente. — Le déplacement effectué sur la courbe étant ds, les projections de ce déplacement sur les trois axes seront dx, djTj dz; on aura donc les trois équations :
dx dy dz
cos(r, x)= ^» (iOs{T,x)='±y cos(t,js)= -^y
qui font connaître par leurs cosinus les angles que la direction du déplacement infiniment petit ds fait avec les trois axes.
Différentielle de l'arc. — ■ Des équations précédentes on déduit l'équation
[ds] ds^=dx^-\- dj^-hdz^,
• qui donne l'expression de la différentielle de l'arc.
Angle de contingence. — 11 suffît de porter les valeurs des cosinus (r, x)y (t, j), (r, 2) tirées des équations précédentes da/^s les équailons (11); on aura les trois équations
dx
[ll'J rf£COS(p, ^) = rf jj
DES COURBBS GAUCHKS. 73
et conséquemmcni
dxV
angles de la binormaie avec les trois axes. — Si l'on se porte aux Tormules (i 5] du n^ 14 et qu'on passe à la limite, oa aura les trois équations
rfr rf'x — dx d}Y Z , , , cos(v,^)= ^^,^^ -a^- (3)
auxquelles il faut joindre la relation résultante
[rfe]' ds'dt'^^^^dyd'z — dzd'yY,
qui est une nouvelle expression de l'angle de Contingence»
Deuxième expression de V angle de contingence. — Si l'on» se porte aux formules du n*" 15 et qu'on passe à la limite» oni obtient l'équation
[dzY ds'de,''=S(d'xy^{d's)K
46. Rayon de courbure, — Les équations [ii'] divisées, par ds donnent les équations suivantes :
les équations [rfe], [rfs]', {di^ donnent les trois expressions suivantes de la courbure :
(?) ?^^[dsWi\'
ds^
— j- =:zS{dxd^y^ djrd^x)\
'^ ds*
y = S{d^xy^{d^s}\
Les équations [i i'] donnent la direction du rayon de courbure et les trois suivantes son intensité.
Flexion en fonction des coordonnées, — Si l'on se porte
