LIVRE I. ~ SECTION I. — CIIAPITRB II
au n'' 16 ei qu*on passe à la limite, on obtient l'expression sui-
vante :
Deuxième expression de la flexion. — De même, si Ton passe à la limite, l'équation finale du n^ 17 donne
•• ^ ds*dB^
Rayon de deuxième courbure. — On déduit de ces deux
équations les expressions suivantes du rayon de deuxième
courbure : ^
• ^ ^S\drx
v~^ ds' '
v' ^ ds'
47. Transformation des formules, — Les formules relatives au rayon de courbure sont susceptibles d'une transformation qu'il est utile de connaître.
Remarquons que, la direction de p étant perpendiculaire aux deux directions t et v, en posant toujours
X^zdrd'z — dzdy, (3)
on a l'équation
, , . Ydz-Zdr decos{p,x)=z ^-^ — ^.
Or nous avons trouvé (45) l'équation
-=Wë)T-[''(S)]'*K£)T-
que l'on peut écrire sous la forme suivante :
dî^(d^-£\('Os{p, x)^ (^/-|^jcos(p, v)4- yf-f^y^^ip^ -•)'
DK8 COURBES GAt'CHES. 75
Si Ton effectue les différentiations et qu'on pose, pour
abréger,
Ydz — Zdy^z^, (3)
on trouve successivement, en remarquant que le facteur de d*s s'annule,
,, „ , . i dsd^x — dxd'sX j ^X^d^x
de=^co^{?,x\\^ -^^ jjj = s-^^,
et conséquemment on obtient la formule
§ IV. — A IMPLICATIONS.
4-8. De l'hélice, — L'hélice est la transformée d'une droile située dans un plan après l'enroulement du plan sur un cy lindre. Si le cylindre est circulaire, l'hélice est dite à bcLse dpculaire.
Équation de la courbe. — D'après cette définition, si a est le rayon.du cercle, et que l'on prenne les axes coordonné!» cartésiens, tels que l'axe des z soit l'axe du cylindre circulaire, l'axe des x situé dans un plan perpendiculaire passe par le point d'intersection de ce plan et de la courbe, et l'axe des j* la partie positive de la droite perpendiculaire au plan des deux, autres; en représentant par t l'angle que la projection du< rayon vecteur fait avec l'axe des x, et par m la tangente trigonoméirique de l'angle / que la touchante à la courbe fait avec le plan des xy^ les coordonnées d'un point quelconque de la
courbe sont données par les équations
jT^rflCOS/, y = as\ïit, z = amt.
Différentielles :
dx =^ — as'intdi, djr =^ acostdi^ dz z= amdt; d^x =^ — a cos t dt^, d^y ^-^ — a sin / rf/^ d}z ~-o\ t d^x -z a sin t dl^, d^y n- — a cos / dt^, d^z =^ o.
76 LIVRE I. — SBCTIOIf I. — GHAPITRB II.
Binômes X, Y, Z :
X = a*m s\ïïtdt\ Y = — a^mcostdt\ Z = adP; dX = a^mcostdt*^ rfY= a^msintdl*, rfZ = o.
Tangente :
cos(T,ar) = — sin/cosi, cos(t, j)=costcosi, cos(T,a) = sini. Différentielle de l'arc :
ds = ; dt,
COS
Binormale :
cos(v, a:) = sin/sîn/, cos{v,7)=: — cosisini, cos(v, «) = cosi. Normale principale :
cos(p, x):= — costy cos{p,xJ=z — sin /, cos(p, 2)=o.
Jngles de contingence et de flexion :
dt . rfw . .
---—cos^, -j- = sini.
dt dt
Rayons de première, de deuxième et de troisième courbure :
I cos^i I cosisini 1 cosi
pat' a él a
Coordonnées oc, ^, y du centre de la sphère osculatrice et du centre de courbure. — Ces deux centres coïncident :
«= — alang*isin/, (3 = — a langui cos/, y ==rtlang/./.
Équations élémentaires :
ds a dt . d(ù . .
-7; = .j -r:=cosi, -Tr=::sini.
dt cosi dt dt
Droite rectifiante. — La direction de cette droite coïncide
DBS C0URBB8 GAUCOBS. 77
avec Taxe du cylindre; cela résulte des équations
, , . dt sin(iïT, z)=^-T. =cosi,
cos(cy, v)= — -^' = — sini, cos(Gy, p) = o;
cotH = — tangf.
Ces formules diverses ont été calculées directement au moyen des équations de la courbe; mais on peut aussi les déduire des équations du polygone hélicoïdal qui ont été données dans le Chapitre I (20); il suffira de passer à la limite en posant A/ nul.
Il serait facile de montrer que toute l'économie de Thélice est la conséquence des formules que nous venons de calculer. Nous laissons au lecteur le soin de faire cette déduction, qui servira de contrôle à l'étude que nous avons déjà faite du polygone hélicoïdal dans le Chapitre P'.
78 LIVRE I. — SKCTION I. — ClIAPITttE lil.
