DU POINT

La question qui va nous occuper consiste à déduire des équations élémentaires d'une courbe les coordonnées d'un point quelconque de cette courbe.

Cette question, lorsqu'il s'agit de courbes planes, peut être complètement résolue en ce sens, que l'on obtient les coor- <lonnées du point de la courbe au moyen de simples quadratures; mais il n'en est pas de même des courbes non planes. Le problème dans sa généralité est au-dessus des forces de l'Analyse, parce que Ton se trouve en présence d'une équation (lifTérentielle qu'on ne sait pas intégrer et qu'on n'est parvenu à intégrer que dans deux ou trois cas. Cependant cette question doit être abordée lorsque l'on veut pénétrer dans les entrailles mêmes du sujet. C'est la solution de cette question qui donnerait la vraie théorie des courbes et la seule classification rationnelle à laquelle on puisse les soumettre. Les auteurs qui ont écrit sur les courbes, ayant posé la question en sens inverse, ne se sont nullement préoccupés de la solution; il n'y a, à notre connaissance, que M. Serret et le D' Hoppe qui aient posé directement la question et qui nous aient laissé des recheiches importantes sur cette matière, digne des efforts des plus grands analystes. Les idées que nous avions sur la vraie théorie des courbes, et qui ont été la base des recherches que nous avons publiées depuis un quart de siècle, nous plaçaient directement en présence du problème dont il s'agit. Ce sont les résultats de ces géomètres et ceux que nous avons obtenus nous-mème que nous allons exposer dans le présent Chapitre, que nous partagerons en deux parties, la

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première relative au mouvement angulaire d'une droite, la seconde relative aux applications de ce mouvement à la théorie des courbes. Cette exposition esi basée sur une méthode nouvelle et à nous personnelle.

§ I. — Des déplacements angulaires d*unb droite.

Avant d'étudier les courbes en elles-mêmes, il importe d'étudier les angles infîniment petits que font entre elles les positions successives d'une droite, et de fixer les variations angulaires d'autres droites intimement liées avec la première. Celte étude fait connaître les lois qui règlent ces variations et qu'il est indispensable de^connaltre.

49. Principe des courbures inclinées, — Courbure inclinée d'une ligne suivant une direction quelconque. Pour rester (idèle à nos conventions, si une ligne v se déplace d'après une loi connue, de telle sorte qu'un de ses points parcoure un arc 5, nous appelons courbure inclinée de Tare s suivant la direction v le rapport du déplacement angulaire inflniment petit de la ligne v au chemin infiniment petit parcouru par le point sur Tare ds^ et nous représentons cette courbure par

L'arc de cercle décrit d'un point de la droite comme

centre avec un rayon égal à l'unité, entre la première position de la droite et une parallèle menée de ce point à la seconde position de cette droite, est appelé arc de contingence inclinée de la ligne s suivant la direction v et représenté par le symbole 5v.A. Cet arc de cercle représente en grandeur et en direction la courbure inclinée.

Cette conception est tout à fait générale et s'applique sans exception à loutei les courbures que les géomètres introduisent dans le calcul, ainsi qu'à toutes les grandeurs de l'ordre (les courbures qu'ils considèrent, et la courbure Inclinée les comprend toutes comme cas particuliers, comme nous le prouverons successivement.

Farialions d*un angle. — Soient deux droites v, fz, formant entre elles un angle (v, a) variable, et dont le sommet par-

8o LIVEB I. — SRGTION I. *- CHAPITBE III.

court l'arc infiniment petit dk; on a, par rapport aux (rois coordonnées rectilignes or, r» z, la relation

cos(v, /:a) = 2 cos(v, x) cos(/x, x)t

le signe Z se rapportant aux trois axes coordonnés; si Ton prend la variation suivant le déplacement (fk, on aura, en introduisant les courbures inclinées et en restant fidèle aux conventions établies, la relation fondamentale

rfcos(v, fji) __ rosffjt, ^,x) cos(v, JÇ^^x)

SoitTT la normale au plan parallèle aux deux directions v et fx. Si, conformément à notre usage, on représente par les mêmes lettres de l'alphabet romain affectées de l'indice (tt) les projections des deux courbures sur le plan des deux droites dans leur position primitive, l'équation précédente pourra s'écrire sous la forme suivante :

iiy d{v.{j.) I

Les formules (X), (A)' se démontrent avec non moins de facilité parla Géométrie; car, si du sommet de l'angle on mène des parallèles aux positions des deux côtés après leur déplacement, qu'on projette l'angle ainsi obienu sur le plan des deux côtés avant leur déplacement et que du sommetde l'angle, avec un rayon égal à Tunité, on décrive dans ce plan une circonférence de cercle, on voit directement que la variation de l'angle des deux droites est égale à la somme des projections des déviations des côtés sur le plan des deux droites; ce qui n'est autre chose que le principe exprimé par l'équation ( X /, que l'on peut aussi énoncer de la manière suivante :

Thêorèihb. — La variation d*un angle est la somme des projections, sur le plan de cet angle, des arcs de contingence inclinés de la ligne décrite par le somme t^ suivant chacun des deux côtés de l'angle.

50. Trièdre trirectangle dérivant du déplacement angulaire d'une droite. — Soit (Jig. 7) une droite dont un point déter^

PAS8AGB DBS ÉQUATIONS ÉLfiMENTAlRES AUX COORDONNÉES, ETC. 8l

miné parcourt une courbe donnée, la direction de cette droite variant d'après une loi donnée. Marquons, à partir du point 0, où la droite dans une de ses positions coupe la courbe, la position positive de cette droite; supposons que du même

point 0 une sphère soit décrite d*un rayon égal à l'unité, et soit r le point où sa surface coupe la partie positive de la droite; soit r' l'extrémité du rayon de cette sphère parallèle n la direction positive de la ligne infiniment voisine; l'arc de grand cercle qui va de r en t' est connu en grandeur et en direction. Soit Op un rayon parallèle à cette direction, qui à la limite est la même que celle de la corde rr'; si nous élevons un rayon Ov perpendiculaire au plan tOt' du côté où le déplacement de Or est vu de gauche à droite par un spectateur placé suivant la direction Ov, cette direction sera prise positivement et la position opposée négativement. Les trois rayons positifs Or, Op, Ov forment un trièdre trîrectangulaire : la considération de ce trièdre est d'une grande utilité.

Trièdre Irirectangle infiniment voisin, — Soit Ot" un rayon parallèle à une troisième position de la droite; les deux rayons Ot', Ot^ donnent naissance à un second trièdre trirectangle dont les arêtes sont Or', Op', Ov'. Ce trièdre est formé d'après la même loi que le précédent? les trois arcs (r, r^), (v, v'), (p, p') jouissent des propriétés suivantes :

I*» Les arcs (t, t'), (v, v'), formés par les positions infiniment

82 LIVRB I. — SKCTIOlf 1. -- CHAPITRE III.

voisines des rayons Or, Ov, ont la même direction ou des directions opposées.

En effet, le point z' est éloigné d'un quadrant des points v, v'9 p'; d'ailleurs Op' est perpendiculaire sur Ov'; donc, à la limite» l'arc (y, v') sera parallèle à Op', et par conséquent à Op. Mais Op est à la limite parallèle à l'arc (t, r'); donc ces deux arcs sont parallèles entre eux et à la direction Op: l'arc (v, v') sera pris positivement s'il a la même direction que Op. et négativement s'il a la direction contraire.

2? Les trois arcs (r, t'), (v, y'), (p, p') sont, en grandeur, les trois côtés d^un triangle rectangle dont (p, p') est V hypoténuse»

Les trois points t, z', p sont situés sur un arc de grand cercle ; les trois points v, v\ p' sont aussi situés sur un arc de grand cercle qui coupe en / le premier orthogonalement; or, dans le triangle rectangle infîniment petit pp'i, l'arc (i, p') est égal à l'arc (v, v'), puisque les points v, v' sont les pôles des deux grands cercles (p, t'), (p'>t') qui forment entre eux l'angle mesuré par (i, p'); on a aussi l'arc (i, p) égal à l'arc (t, t') par une raison semblable. Donc, si un irièdpe trirectangle est formé, d'après la loi précédente, dans une seconde position de ce trièdre, les déplacements angulaires infiniment petits sont entre eux comme les trois côtés d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse est (p, p') et les deux côtés de l'angle droit sont l'un ( I, p) perpendiculaire à l'arc ( v, v') et l'autre (i, p') perpendiculaire à l'arc ( T, r'). On a donc la relation

Nous appelons les arêtes Ot, Ov, Op du trièdre considéré la première, la deuxième, la troisième arête du trièdre, et première, deuxième et troisième face les faces opposées à ce^ arêtes.

51. Trièdre relatif au déplacement angulaire de Ov. Le trièdre trirectangle déterminé par deux positions infiniment voisines du rayon Ov est tel que, la première arête étant Ov, l'arête perpendiculaire au plan de ces positions sera Or', et

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l'arête délerminéo par la direction de l'arc (v, v' ) sera Op' ; de là il résulte que ce trièdre se confondra à la limite avec le trîèdre produit par deux positions infiniment voisines de Or, trièdre que nous venons de considérer dans le numéro qui précède. De là on déduit les propositions suivantes :

1° Si deux trièdres sont tels que le premier résulte du déplacement d'une direction Or, et le second du déplacement de la perpendiculaire Ov à deux positions infiniment voisines de la direction Or, ces deux trièdres sont tels, que la première arête du premier coïncide avec la deuxième arête du second, et réciproquement, et leurs troisièmes arêtes sont communes»

2*» Le déplacement de la première arête du premier trièdre est le même que le déplacement de la deuxième arête du second, et réciproquement, et les déplacements des troisièmes arêtes sont les mêmes.

Nous appellerons ces deux Wihàves conjugués.

52. Trièdre résultant des déplacements de Op. — Construisons le trièdre trirectangle relatif aux dispositions Op, Op', infiniment voisines ; soient Oxs, OX la deuxième et la troisième arête de ce triangle. Tune perpendiculaire au plan Opp% Tautre parallèle à l'arc (p, p'j; les propriétés de ce trièdre sont les suivantes :

I** La première face 'kOm du trièdre pts'k et la troisième face tOv du trièdre tvp sont dans un même plan.

En effet. Oc? est l'intersection des deux grands cercles vOr, y'Or' dont p et p' sont les pôles. D'une autre part, la direction de l'arc (p, p') est perpendiculaire au rayon Op ; donc le rayon OX parallèle à cette direction ne peut se trouver que dans le plan vOt perpendiculaire à Op. Donc :

2*> L'angle que l'arête Ow fait avec l'arête Ov a pour sinus le rapport de l'arc (v, v') à l'arc {p,p'), et pour cosinus le rapport de l'arc {z,r') à l'arc {p, p').

En effet, les deux droites Oxa, Ov sont perpendiculaires chacune à chacune aux deux faces pOp', pOi; donc l'angle dièdre formé par ces deux faces a pour mesure l'angle isrOv.