LIVRE I. — SECTION I. — CHAPITRE III

Or le triangle inflnUésimal ipp' donne les deux relations (n<^50)

de là on déduit les équations suivantes:

sin(Gy, V) = )— -7 =- cos(A, v),

cos(©, v) =: Tr--zi{ = sin(X, v);

et par conséquent

(t t') sin(cj, t)= 7T-ir) = — cos(^»t),

cos(ci, t) = — r n = sin(X, t).

3** Le déplacement angulaire de la ligne Ocj est la différentielle de l'arc (t, cr).

Si Ton considère le déplacement inflniment petit de Ocj et^ que Ton construise le triangle trirectangle résultant de ce déplacement, ses arêtes seront, d'après le numéro précédent, Ow, Op, OX; la ligne Oc/ sera placée dans ce trièdre par rapport à Oc7, comme la ligne Ov' par rapport à Ov dans le trièdre (v, T, p); donc l'arc (w,nj') est la différentielle des deux arcs {xs'f T*), (ïïj, t), parce que, Tangle des deux arcs (cj, v'), (w, v) étant infiniment petit, les arcs (g/, t' ) et (isj', r) diffèrent d'un infiniment petit supérieur au premier. On aura donc les deux équations

(3) (cj. xs') = d arc sin = r^^'

(4) (X,V)'={tii,i55')>H-(p,p')\

11 résulte de ce que nous veifons de dire que, les déplacements angulaires (t, t'), (v, v') étant déterminés en grandeur et en direction, les déplacements de toutes les arêtes des trièdres successifs sont déterminés en grandeur et en direction, et que les positions de ces arêtes par rapport aux arêtes du premier trièdre sont également déterminées.

PÀS8AGB DBS ÉQUATIONS ÉLÉIIBNTAIEBS AUX COORDONIVtBS, BTC. 85

53. Démonstration analytique, — Le principe de la courbure inclinée permet de démontrer directement les théorèmes précédents. En effet» si l'on prend les variations des deux cosinus cos(p, t)> cos(py v)» comme ces deux cosinus sont nuls, on aura ( n^" 49 )

rfC0S(p, T) = (p, p')COS(À, T)-h(T, T')C0S(p,p')=rO, rfC0S(p,v) = (p, p')COS(X,v)-H(v, v')COS(p,p')=:0,

et par conséquent

cos(X,t) = - ^~-^=-sin(cj,T),

cos(X, y) = ^)-i—l =- sin(cj, v),

vP> P }

Or les directions p, X, e forment un trièdre trirectangle; par conséquent, la somme des carrés des cosinus des angles que ces trois directions forment avec la direction r ou la direc* A tlon V étant égale à Tunité, on a

cos (d, t) = — , ' ,, = sin ( X, T ), cos (w, v) = -, — ~ = sin ( X, v).