IP>P) . (P>P

Si l'on prend la variation de ces deux cosinus, on aura

rfcos(cy, r) = — sin(TiT, T)rf(nT,T)

= {js, Gj') cos(X, t) -h (t, t') cos(tît, p) = — (bj, Tîj')sin(cj, t),

et conséquemment

rf(?ïj,r) = (cj, cj ).

De même

c/cos(gt, v) = — sln(cy,v)rf(^,v)

= (cy, w') cos(X, v)-h(v, v')cos(bj, p) = — • (gt, gj' ) sin (cj, v)

et par suite

rf(Gj, v) = (©,©'); ]

ce qu'il fallait démontrer.

86 LIVBB 1. — SBCTIOEf 1. — CUAPITHII 111.

5^. Angle* des arêtes des dipers trièdres ai^ec la direction fixe. — Soient Qx^ Oy^ Oz trofs rayons de notre sphère» parallèles aux trois axes coordonnés orthogonaux auxquels la courbe directrice de la droite mobile est rapportée ; puisque cette courbe est connue et que, de plus, le mouvement angulaire de la droite mobile est donné» il résulte que Ton connaît en fonction d'un seul paramètre les coordonnées de la courbe et les cosinus des angles que la droite mobile fait avec les trois axes.

1^ Projetons le périmètre du triangle tOt' sur chacun de ces trois axes; on aura les trois équations contenues dans le type suivant :

(6) (t, t')cos(p, a:) = rfcos(t, or). (3)

Si Ton projette de même sur chacun des trois plans coordonnés l'aire du même triangle, on obtient les trois équations contenues dans le type suivant :

(6') (T,T')cos(v,a?)=cos(T,/)rfcos(T,z) — cos(T,j)rfcos(T,jr). (3)

Les trois premières formules font connaître l'angle (t, t') et les directions de Op par rapport aux trois axes; les trois secondes donnent les trois directions de Ov par rapport aux mêmes axes.

2** Projetons le périmètre du triangle vOv" sur les mêmes axes successivement; on obtiendra les trois équations contenues dans le type suivant :

(9) (v, v')COs(p,ar) = rfcos(y, a:). (3)

3« Projetons le périmètre du triangle pOp' sur la direction Oor; on obtient la relation triple

(il) (p, p')cos(X, ^) = rfcos(p, x).

D'un autre côté, supposons qu'un mobile parcoure le périmètre du triangle infinitésimal ipp' et projetons ce périmètre sur la direction Ox^ nous obtiendrons l'équation

(10) (p, p') cos(X, j:) -4- (t, r') cos(t, x) h- (v, v') C03(v, ^) = o;

PASSAGE DBS fiQUATIOMS ÉLftMBJfTAIEBS AUX GOOBDONHÊBSy BTC. 87

la comparaison de ces deux relaiions donne la suivanle :

(12) rfcos(p, x) — — (t, t')cos(t, x) — {v, v')cos(v, x). 4? Puisque Oiij est dans le plan vOr, on aura l'équation cos(cy, ar) = cos(ïij, v) cos(v, :r)-i-cos(iij,T)coslT,a:), et, en ayant égard aux formules du n^ 53, on aura

(8) (p, p')cos(iïT, a?) = (T, t')cos(v, j;)— (v, v')cos(t, a?).

Les formules (6)9(9) ^^ ('^) ^^^ une grande' importance, parce qu'elles permettent d'exprimer : i*" les cosinus des angles que p fait avec un axe Oxe, et les variations de ces cosinus en fonction des déplacements angulaires (t, t'), (v, v') et des cosinus des angles que t et v font avec la même direction ; 2° les variations des cosinus des angles que t et v font avec i'axe fixe en fonction des mêmes quantités*

55. Du rapport spécifique. — Le rapport différentiel des deux angles (v, v'), (r, t') joue un rôle très-important dans la théorie des courbes, ainsi que dans le mouvement d'une droite. ^ Nous l'appelons, dans le premier cas, rapport spécifique de la courbe pour des raisons que nous verrons plus tard, et, dans le second cas, rapport spécifique du mouvement de la droite, parce que ce simple rapport détermine le mouvement angulaire de cette droite; si l'on divise l'équation (9) par l'équation (5), on obtient la relation

(5) (v, y') rfcos(v, x)

(t, t') "^ rfcos(T, a:)'

I>e là on obtient la proposition suivante :

Le rapport spécifique du mouvement angulaire d*une droite est égal au rapport des variations des cosinus des angles des directions Ov^ Ot avec une direction fixe quelconque.

Pour abréger, représentons les déplacements

par

de, rfo), ^ rfe', rfo)', rfe", ... ;

88 LIVAB I. — SECTION I. — GfllPITRB III.

puisque le mouvement de la droite est défini , si ( est la variable qui règle le mouvement de la droite, les rapports des différentielles de, dtù à la différentielle dt sont connus en fonction de ^; on a donc les deux équations

(7) dt = ff(t)dty d(ù=^[t)dt\

et, si l'on représente par e, o) deux variables telles, que l'on ait

e =^fdt -+- Co, w z=ijdiù -+■ Gi)t,

dans lesquelles e«, a)« sont deux constantes arbitraires, on connaîtra e et o) en fonction de /, et l'élimination de cette va-

riable donnera a> en fonction de e, et, par conséquent, --r- en

fonction de e. On peut donc admettre que le rapport spécifique est connu ea fonction de c; il résulte aussi de là que

Ton connaît ie rapport de ^ en fonction de &).

d%' Enfin» par suite de l'équation (O'Ttj ^st exprimé en fonction de t par la relation

rfe' = rf/v/[9(0?-^-[+(0]S

de sorte que, si Ton représente par e' une variable donnée par

l'équation t

e' - e; =/de',

dans laquelle s'^ est une constante arbitraire, on connaîtra ç' en fonction de /, et par conséquent les rapports différentiels -r7> •:?-/ en fonction de e'.

di* dt

56. Relations entre 4es déplacements des arêtes des divers trièdres successifs. — Appelons H l'angle fini que l'arête Oxn fait avec l'arête Ot; les équations (2/ donnent les relations

(2') slnH=^, cosH = -^), {d€fy=ds^-hd(ù'; il résulte de là que, si l'on pose les relations

//p' rlr\'

(2»)sinH' = ^, cosH' = -^, (rfe';'^ (rfe')'-4-(rfw')S

PASSAGE DBS ÉQUATIONS ÉLfillBNTAIRBS AUX GOOBDONNÊBS, ETC. 89

l'équation (3) donnera

(3') dn = d(ù\

Donc les angles H et o' qui résultent de l'intégration de cette équation ne peuvent différer que par une constante; on a donc la signification de l'angle on' introduit dans le numéro précédent. De là résulte aussi que Ton a la relation

( def y = de' -4- rfw* 4- rfH'.

En continuant de la même manière, on obtiendra la signification de l'angle cù" par suite de la relation

(3*^) . dW = d(ù%

et de plus la relation

et ainsi de suite.

Ces équations montrent qu'il suffit que deux rapports différentiels T-> -jj soient connus en fonction de ^ pour que Ton

puisse calculer en fonction de la même variable les rapports de tous les déplacements angulaires à dt*

57. Calcul des déplacements angulaires des arêtes des triè^frfli.— Supposons que l'on veuille calculer tous les déplacements des arêtes des trièdres qui suivent le trièdre primitif.

En faisant usage des équations (7) et des équations (2') et (3'), on aura

dt' = ((^^-h^^ydty

dc.' = darc(tang = |) = !î!|;^

de ces deux équations on déduit les deux suivantes :

if)

et ainsi de suite.

90 LIVRK I. — SBCTION*!. — CHAPITBB III.

Si Ton veut, au contraire, calculer les déplacements des arêtes des trièdres trirectangles qui précèdent le trièdre pri* initify on opérera de la manière suivante :

Soient Je^i, c/gj^, les déplacements des deux premières arêtes du trièdre qui précède le trièdre primitif; on aura, en affectant de l'indice —i les quantités déjà définies relatives i ce trièdre» les relations suivantes :

rfH. = ^J; dt, H, =r/^ dt ;

et conséquemment les équations

<7)- -^ = (psin(/4;rf/), -^ = - orH)s{/4/rf/).

On trouvera de même

rfH^, = — ? cos(/4; dt). H- . r= ^y<p dt cosij^ dt).

%^ = - (p sin(/+ rf/) sin[/9 rf/cos(/^ rfOL ^ = -(psin(/^rfOcos[/(prf'cos(/^rf/)],

et ainsi de suite.

De ces formules on déduit les relations suivantes :

e^i=f(f dt sin(/4^ dt), w-, = — /^ dt cos(J^ dt), €-, = -/(p dt sin (/+ rfO sin [/(p dt cos(/+ dt)], û)ï = — /9 rfr sin(/ij^ dt)cos[f(^ dt cos (/ij; dt)],

dans lesquelles les constantes arbitraires sont contenues sous le signe/.

58. Trièdre différentiel, trièdre intégral. — Étant donné un trièdre dont les arêtes sont r, v, p, nous appelons trièdre différentiel de ce trièdre, ou bien trièdre dérivé, le trièdre dont l'arête principale est la dernière arête du trièdre proposé, et nous représentons par les mêmes lettres marquées d'un accent les arêtes du nouveau trièdre; par les mêmes lettres affectées d'un double accent, les arêtes du trièdre différentiel

PASSAGE DBS fiQUATIONS 6l6MENTAUBS AUX COORDONNfiKS, ETC. 9I

de ce dernier, et ainsi de suite ; d'après ces noiaiions, p ou r' sont identiques, p' ou r^ sont aussi identiques. De même nous représentons tous les éléments du trièdre différentiel par les mêmes lettres qui représentent les mêmes éléments du trièdre proposé, affectées d'un, de deux, de trois accents, suivant qu'il s'agit du trièdre différentiel du premier, du deuxième ou du troisième ordre. Nous représenterons, pour abréger, par t„ Tj, t, les cosinus des angles qif une arête r fait avec les trois axes, c'est-à-dire parla lettre qui représente l'arête, cette lettre étant affectée de l'accent qui se rapporte à l'axe. D'après cela, le sens de cette notation sera déterminé; ainsi l'on aura

et ainsi de suite.

De même, nous appelons trièdre intégral du premier ordre du trièdre proposé (r, v, p) le trièdre dont ce dernier est le trièdre différentiel ; trièdre intégral du second ordre du trièdre proposé celui dont le trièdre du premier ordre est le trièdre différentiel; nous représentons tous les éléments de ces divers trièdres par les mêmes lettres qui représentent les éléments du même nom dans le trièdre proposé, affectées des indices — i, — 2, — 3,. . ., suivant qu'il s'agit du trièdre intégral du premier, du deuxième ou du troisième ordre. D'aprèscela on aura le sens bien déterminé des relations suivantes :

rf«., = rfe, rfH-, = rfw, T*-i = p*u-„ T, = px-i

59. Peoblèhb 1. — Connaissant la loi du mouvement de l'aré te fondamentale r du trièdre des axes mobiles, trouver la loi du mouvement des arêtes des trièdres successifs quelconques.

Les formules fondamentales sont (6), (g), (ri), (8), qui donnent les suivantes :

(16) rfe'T* = — (Uzs ■— d(ùv,, dt'v\ = — duiZx 4- rfe v*. La première des équations (i5) donne les équations sui-

92 UTBB r. — SECTION I. — CHAPITEE III.

vantes par la différentiation :

- d d rfr,

d de'

de'

rfr.

dx 1 •

Or, comme les variables e, e'» e",. . ., e<") s'expriment de proche en proche en fonction de la variable indépendante au moyen des formules (7')» (7'') données dans le n** 57, il en résulte que le mouvement des arêtes r des trièdres dérivés est déterminé.

Le mouvement des arêtes p des mêmes trièdres en résulte» parce que la troisième arête d'un trièdre est la première arête du trièdre dérivé suivant, ce que l'on exprime par l'équation

Enfin les arêtes v des mêmes trièdres sont aussi déterminées par suite de la relation suivante :

mais il est plus simple de déterminer le mouvement de ces arêtes v en s'appuyant sur la deuxième des formules (i6). En effet, on déduit de cette formule les suivantes :

dz' v^ — rfe V, = — dû) T,,

rfe(") vjr^ - rfe(»-0 vi"-'î = - d«(— ) TÎT"'^;

et> en ajoutant membre à membre, on trouve l'équation suivante :

( 20 ) rfe<»> v^"*^ - de V, = - y dû>(0 -6]} ,

qui donne le mouvement d'une arête quelconque v.

PÀ8SAGB DBS EQUATIONS fiLÉMBNTAIEBS AUX COOEDONNÊB89 BTC. gS

60. Transformation des équations précédentes» — Si l'on développe les différentiations indiquées dans les seconds membres des formules (17), {19), (18), on obtiendra ri^\ v^"^,

p^") exprimées linéairement par rapport à t«, v« et p«; il suffira de faire usage des équations (16) pour éliminer les dérivées d'ordre supérieur de ts et de v« à mesure qu'elles se produisent.

On peut aussi obtenir ces formules en opérant par l'une ou l'autre des méthodes suivantes.

Première méthode. — Écrivons les équations (i5) et (16) sous la forme

|p', = — T.sinH -f-v,cosH, v^ = TxCOsH -h v«sinH,

On déduit de ces formules les suivantes :

p; = — T,sin H' -h v, cosH', T,cosH'^-v;sinH^

ety par la substitution des valeurs de t^, v^, tirées des équations précédentes, elles deviennent

p^ = — p, sinH' 4- T,cosH' sinH -h v.cosH' sinH, v^z= p,cosH'-+- TxSin H' cosH ^- VxSinH'sinH;

et ainsi de suite, en opérant sur celles-ci comme sur les précédentes.

Deuxième méthode. — Elle consiste à opérer, par rapport aux axes mobiles t', v', p', comme on vient d'opérer sur les axes fixes. Les formules pourront s'écrire alors sous la forme suivante, / étant une direction quelconque : «^

( cos(/, t) = cos(/, i/')cosH — cos(/, p')sinH, (16*') I cos(/, v) =cos(/, v')sinH — cos(/, p')cosH, ( cos(/, p) = cos(/, t').

94 LIVRE I. ~ SBCTION I. — CIIAPITRB III.

Or, si Ton fait sucrossivemeni / égal à v", p", on aura

cos(v", t) = sinH' cosH, cos(p'', 7)= cosH'cosH, cos(v", v) = sinH' sinH, cosfp", v)= cosH'sînH, cos(v", p) = cosH', cos( p", p ) = — sin H'.

Si, dans les mêmes formules, on fait successivement / égal à v**, p*' et que Ton ait égard aux valeurs qu'on vient de trouver, on aura successivement

cos(v*', t)=: cos(Av')cosH — cos(v*',p') sinH, cos(v*', t) = sinH^'sînH'cosH — cosH'^sinH, cos(v^ v) =: sinH" sinH' slnH -h cosH^'cosH, cos{v''', p)=:sinH"cosH';

cos(p'% 7) = cos(p^v')cosH — oosfp^p')sinH, i cos(p^ T) = cosH''sinH'cosHH-sinH*'sinH, cos(p'", v) = cosH"sinH' sinH — sinH" cos H, cos(p*', p^ — cosH"cosH',

et ainsi de suite.

Or on a la formule

v^'') = T*cos[v(">, t]-h VxCOs[vf">, v]-f-p,cos[v("^ p].

On connaîtra donc finalement les coefficients de Zx, y« et p« dans cette formule; par conséquent, on aura la valeur de v^") et, en raisonnant de la même manière, on trouvera les valeurs

De la résolution de ce problème résulte la proposition suivante :

ThAorèmb. — Si le rapport sphérique --^ est donné en fonction d'une variable, et que l'on connaisse en fonction de la même variable le cosinus de l'angle que l'arête fondamentale du trièdre (t, v, p)fait avec une droite fixe, les cosinus des

PASSAGE DBS fiQUATIONS 6LÉHBNTAIRB6 AUX GOOKDOIINÉBS, ETC. 9Ô

angles de cette droite avec toutes les arêtes de ce trièdre et des trièdres différentiels peuvent être obtenus en fonction de la même variable.

61. Problème II. — Connaissant la loi du mouvement de l'arête z du trièdre des axes mobiles, trouver la loi du mouvement des arêtes d*un trièdre intégral d* un ordre quelconque.

Écrivons les équations (6) et (9) sous la forme suivante :

(21) dzs-i =■ Zg rfe-i , rfv^, = T, rfw-i ;

de la première on déduit successivement par Tintégration les formules suivantes :

(22) I T,-2=/rfe,/T,rfe.,

lesquelles déterminent le mouvement des arêtes t d'un trièdre intégral quelconque, pourvu que Ton fasse usage des formules (7,U,.

De même, de la seconde on déduira successivement par l'intégration les formules suivantes :

/ Vx-t =fzMd(ù^i,

Enfin, si Ton remarque que Ton a la relation générale on aura les formules suivantes :

( 24 ) p«-i = T*, ps-2 = T,-i , . . . , p* -n-i =: Tx-n y

et, par conséquent, la loi du mouvement d'une arête d'un trièdre intégral d'un ordre quelconque est déterminée.

62. Transformation des équations précédentes. — Les formules précédentes dépendent d'une série d'intégrations suc*

96 LIVBB I. — SECTION I. — GUAPITRB III.

cessives qu'il faut effectuer; or on peut affranchir ces formules de toutes ces intégrations par l*.une des deux méthodes suivantes.

Première méthode. — Considérons la première des équations (22]; si l'on élimine t« de cette équation au moyen de réquation (12), on aura, enayant égard aux relations (2'), (2^^), réquation suivante :

r^, = —fdps sin H-, — /v, sin H-, rfH, .

Or, si l'on intègre par parties chacune des deux intégrales du second membre, on obtient

r,-i = — px sin H-, -^ v, cosH, -+-/cosH, (p, rfw — rfv,) .

Si Ton opère de la même manière sur la première des équationsy on trouvera la relation

V,-, = p, cosH-, -h Vm sin H«, H-/sinIL., (p, rfw — rfv*).

Or, comme les deux intégrales du second membre sont nulles par suite de l'équation (9), on a les deux équations suivantes :

, ^, I T,-, = — p,sinH, + VxCOsH-,,

I Vx-i = pxCosIL, -f- Vx sin H i.

Ainsi Ts-i et v«.i sont indépendants de tout signe intégral. On trouvera de la même manière

Zs-7 = — Pz-i sin H, H- Vx, cosH.s, Vx-i = p«-i cosH-, -h Vx-i sin H 3.

Si l'on élimine p,, au moyen des formules (24) et Vx-i au moyen des formules (25), on obtient les deux formules suivantes :

(T,a=— -T,sinH,-+-pxC0sH 2C0sH,-h y,cosH îSinH,, 1 v,2= TxCosH,-i- px sin H-a cosH-, -f- Vx sin H-aSinH-,.

Au moyen de ces deux formules et des précédentes, on obtiendra, en opérant de la même manière, les valeurs de Tx-s, Vx-3, et ainsi de suite. On obtient donc des formules qui don-

PASSAGE DBS fiQUUTlONS ÉLÉMENTAIRES ADX GOOftI>ONlltES, ETC. 97

nent le mouvement des arêtes d'un ordre intégral quelconque,

indépendantes de tout signe d'intégration; et il n*y a d'autres

intégrations à effectuer que celles qui résultent du calcul des

angles en H (57), calcul qui est commun aux deux procédés.

Deuxième méthode. — Cette deuxième méthode consiste à

calculer directement les formules (sS); or, si l'on remarque

que les formules (i6') du n^ 60 peuvent s'écrire sous la forme

p, = y,, cosH, — T,-i sin H-.,-,

Vx = V,-, sin H-, -h- T,-i cosH-,,

et qu'on résolve ces deux équations par rapport à Vx-i, t«-i comme inconnues, on tombe sur les équations (aS), de sorte que le mouvement d'une arête quelconque d'un trièdre inté* gral peut être calculé sans aucune intégration, comme cela ressort d'ailleurs de la nature des équations. On déduit de ce qui précède la proposition suivante :

THiORftHB. — Si le rapport spécifique -r- est donné enfoac-

tion d'une variable^ et que Von connaisse en fonction de la même variable l'expression la plus générale du cosinus de l'angle que l'arête fondamentale du trièdre (t, v, p) fait avec une droite fixe^ les cosinus des angles de cette droite avec toutes les arêtes de ce trièdre et d'un trièdre intégral quelconque peuvent être obtenus en fonction de la même variable sans autres quadratures que celles relatives aux angles H,

Corollaire. — La même proposition a lieu lorsque, le rap*

port -7- étant donné en fonction d'une variable^ on eonnatt

en fonction de la même variable l'expression la plus génércde du cosinus de r angle qu'une arête quelconque du trièdre (t, V, p)fait avec une droite fixe.

63. Relations qui lient le rapport spécifique avec les cosinus des angles de Or, Ov, Op avec une direction fixe. — Nous représentons toujours les cosinus des angles que les directions Ot, Ov, Op font avec une direction fixe 0^ par t,, v,,

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