CHAPITRE III
p«; si Ton prend dî pour différentielle constante» les (6), (g), (il) s'écrivent sous la forme suivante :
équations
Idr.
i de - P"
1 rfv, rf<<)
dt "" de P"
lie- ''
dù^
auxquelles il faut joindre l'équation
(ft) TÎ-4-viH-pi = I.
Les équations (a) forment un système d'équations différentielles linéaires du premier ordre entre les variables t„ v,, p, et la variable indépendante e définie dans les numéros précé-
dents, de sorte qu'il suffit de connaître le rapport spécifique -7-
en fonction de e pour déterminer par l'intégration de ces équations les angles de la droite mobile avec une direction fixe 0^ quelconque en fonction de la variable e. On pourrait conserver la variable indépendante t; mais alors il faudrait connaître les variations de, d(ù en fonction de cette variable.
64. Équations résolvantes. — Supposons connu le rapport spécifique -t- en fonction de e, et proposons-nous de chercher une équation différentielle en e et t«.
Si Ton différentie deux fois la première des équations (a) et qu'on élimine les variations p« et v« au fur et à mesure qu'elles s'introduisent, au moyen des deux dernières équations du système (a)^ on trouve les trois équations suivantes :
/ dxx
dzx rf*'^* __ rf<>>' d fdu\\
IT'^ldF ""^ rf? P* "■ Jt\dï) """ Si Ton porte les valeurs de p» et de v. données, par les deux
PASSAGE DBS ÉQUATIONS fiLÉNBNTAIRBS AUX COORDOMMÊKS, ETC. 99
premières équations dans Téqualion (6), on obllent réquation du second ordre
rf»T, ^ ^'.>. / , d^
Si, au contraire, on élimine les mêmes variables entre les trois équations du système, on obtient l'équation du troisième ordre linéaire suivante, dans laquelle nous posons, pour abré-
ger, le rapport spécifique -j- = 9, et sa dérivée égale à 9',
^ . de 9 rfe* ^ ^ ' ae 9
L'une de ces deux équations étant intégrée, on connaîtra Xx en fonction de e, et les équations (a/ feront connaître Vx et p, ep fonction de la même variable.
a^ Il est facile de voir que les équations différentielles entre v« et a», prise pour variable indépendante, sont de même forme que les deux précédentes, parce que les équations (a) sont symétriques en Tx et di^ d'une part, et v» et (/&), de l'autre.
Donc, si l'on représente par t{^ le rapport de dz à dtù exprimé en fonction de &>, et par t{/' la dérivée de ^ par rapport à u, on alira les deux équations
s** Pour obtenir l'équation différentielle qui donne p«, nous poserons, afin d'éviter toute confusion, ^u égale dix et nous prendrons pour variable indépendante l'angle e,; par suite des équations (2'), les équations (a) prendront la forme suivante :
dv («/ { j^=-prCosH,
-jLf : : — -Zx SinH -4- Vx cosH.
dix
1»0 LITEB I. — SECTION I- — GBAriTRB llf.
Si Ton différentie deux fois là troisième des équations (a)*' par rapport à tx, et qu'on élimine les varialions de r<r et v« au fur et à mesure qu'elles s'introduisent, et qu'on représente par H' et H^ les dérivées premiè|^ et seconde de H par rapport à ei, on aura les deux nouvelles :
j^-+-p,= (-v.sinH-T,cosH}H',
r^-^-jf =(- v.cosB -HT,sinH)H'*~ (v.sinH-f r^cosH)H\
Si l'on porte les valeurs de u et de v, tirées du système contenant la troisième des équations {a)", et la première des d!3ux précédentes dans la relation (6), on obtient l'équation
qui eât du second ordre et d*un degré supérieur au premier. SI l'on porte les mêmes valeurs dans la .deuxième des équations [a)" y on obtient l'équation du troisième ordre linéaire suivante :
11 est facile de voir que les formes des équations (e)^ {e)\ (eY ne sont pas distinctes; car, si dans l'équation (e) on remplace la fonction 9 par sa valeur -j- ou bien — ^^9 on tombera
sur une équation identique à l'équation [ef. Cette égalité de forme de ces trois équations résulte évidemment de la nature môme de la question.
Changement de variable indépendante, — Si l'on prend une variable indépendante quelconque / et qu'on représente, pour abréger, les dérivées successives d'une variable par rapport à ^ par la lettre qui représente cette variable, affectée de un, de deux, de trois accents, etc., et que l'on pose
di &>' dt
PASSAGE DBS EQUATIONS tLÉMBNTAlKBS AUX CO0BI>OHIfteS, ETC. lOI
on aura l'équation différentielle suivante :
qui se rapporte à une variable indépendante quelconque.
65. Application de$ formules précédentes.^ Pboblèmb I. — ^ Le rapport des déplacements dtù, dt des deux arêtes v et r étant constant f déterminer^e mouvement des trois arêtes du trièdre Orvp.
Si Ton fait usage de la formule (c)^, elle devient dans le cas présent
donc l'intégrale, en représentant par A et « les constantes d'intégration, prend la forme
p, r= A COSffii -f- a).
Si l'on représente par m le rapport de dt» à <fe, on a» par suite de la première équation (a) et de l'équation (9), les deux équations
dzx A , , dvx A m ,
— = ■ — - cos(e. -ha), -r~-= cos(e. H- a).
«6» ^i -h m* "fi, ^i -^ m'
Si l'on intègre ces deux équations, en représentant par B et C deux nouvelles constantes, on obtient
Tx=B .sin(g, -4-(x), Vx = C ., sin(ei-hg);
mais, comme la somme des carrés des cosinus est l'unité, on reconnaît que les constantes A, B, C sont liées entre elles par les deux relations
A'+ B'-h C'= r, B -f- Cm = o, ce qui permet d'exprimer deux de ces constantes en fonction
I02 LIf U I. — SBCnON I. — CHAPITBK III.
de la troisième; on a donc les trois cosinus
p, = Acos(e,-t- a).
mVÏ--Â^ A s / . N
Ts— : Sin(£,-f- 5t),
^i — A» Km . , .
"^qui donnent à chaque instant les positions des arêtes r» v, p. Chacune de ces arêtes trace sur4a sphère O une ligne sphérique dont les équations sont faciles à obtenir.
i"" Si Ton met les équations en p,, p^ et p. sous la forme suivante :
p,=i cosrt cose.H- cos6 sirui»
Py=cosfl,cos£,-f- cosfrisiiie,,
p,= cosaiCOsei-+- cosftjsins,,
on reconnaît que les angles a, a,, as» by fri, bt se rapportent à deux droites rectangulaires passant par le centre de la sphère et que la courbe n*est autre chose que le grand cercle don le plan contient ces deux droites;
a"* Que les valeurs de t«, t^, t. sont données par les équations contenues dans le type
T,= cosccosH — sinII(cosasinei — cosftcose,), (3)
dans laquelle les angles c, c,, d déterminent une droite menée par le centre perpendiculairement aux deux précédentes, et que la courbe sphérique est Tintersection de la sphère avec la sphère dont l'équation est
(x— cosccosH)'-+- {y— cosc.cosH j*
-h (i — cosc,cosH)^=sin'H,
et que par conséquent celte courbe est un petit cercle;
3*^ Que les valeurs de Vxy Vjy v, sont données par les équations contenues dans le lype suivant :
v, = sinHcosc -^ cosH{cosasins, — cos6cose,), (3)
PA88AGB DBS «QDATIONS fiLÉMBNTAlKBS AUX GOORDONMfiES, ETC. lo3
et que la courbe décrite par v sur la surface sphérique est riniersection de la sphère donnée et de la sphère dont l'équation est
(x— coscsinH)'-i-(/ — costfiSinH)'
(j8 — cosc,sînH)*=cos*H.
On peut donc ( fig. 8) se faire une représentation exacte du mou-
Fig. 8. '
vement des arêtes p, r, v du trièdre trirectangle, en assimilant : I® l'arête p à la ligne des équinoxes dont les extrémités décrivent le cercle de Técliptique; n** Tarête t à la ligne des pôles de l'équateur, dont les extrémités décrivent deux petits cercles autour des pôles de Técliptique; S"* Taréte v à la ligne des pôles du plan des deux premières droites, dont les extrémités décrivent les deux petits cercles polaires des petits cercles décrits par les pôles de Téquateur. Les plans de ces cinq cercles sont parallèles et partagent la surface sphérique en cinq zones.
Si Ton fait coïncider avec les axes j?, x> ^ ^^^ trois droites rectang:ulaires formant avec les trois axes coordonnés les angles a, Ciy Oifby 6|, 69, c. Cl, Cu les équations précédentes deviendront
Px — cose,,
sinHsine,,
cosH sine,,
Pr sine,,
sinHcossi,
cosHcoss,,
cosH,
sînH,
I04 UVAB I. — SBGTiOlf I. — CIIAPITUÎ III.
66. PftOBLfeMB IL — Trouver h mouvement des arêtes du trièdre trirectangle lorsque la dérivée -7— est une quantité conslante n.
L'équation donnée
du
fournit par l'intégration, /i» étant une nouvelle constante, l'équation
H = nei -h /!.;
on a donc les deux relations
de , d(ù , -
-^ = sin(iie, -4- «à), -T- = — cos(ii€, -4-n«).
Dans le cas actuel, l'équation (e)" devient
si l'on pose, pour abréger, /r'= i-f-n', l'Intégrale de cetie équation sera
/ I cos6 , , cosc , pjt:= i/ I— -r- cosa r— sin^E, H — jT— COS/f£,.
Cette équation renferme deux équations semblables, l'une donnant pj et l'autre p., et les constantes ont été déterminées par la condition que la somme des carrés de ces cosinus soit l'unité, ce qui donne trois droites rectangulaires fixes , la première faisant avec les trois axes les angles a, ^i, «2, la deuxième les angles 6, 61, 62» la troisième les angles c, c,, c,. I* On reconnatt que la courbe décrite par l'extrémité de p est l'intersection de la sphère 0 de rayon i avec la sphère dont l'équation est
(^^-.y/i^i. cosaj +(^7- y/i-^,cos«.J et par conséquent Taréle p décrit une surface conique.
PASSAGE DBS ÊQUATIOKS tUlIBMTAlftBS AUX GOORDONlltBS, BTC. lo5
2** Pour connatlre le mouvement de Taréie r, nous ferons coïncider les droites dont nous venons de parler avec l'axe des z^ Taxe des x, l'axe des/.
Les équations qui donnent p,, p^, p» seront
sinArei cosA'e.
ps= J^ » pr= J, » Pi
or on a
dzt = psdt= — T sinAre, sin(ne, + n^^dsu
rfTj = — T-cosAreiSln ne, + nt)de
rfr,=:i/i — r-j sin(n6, H- n.)dtx.
Si l'on intègre ces équations et qu'on détermine les constantes par la condition que la somme des carrés des cosinus est l'unité, on trouve les trois équations suivantes, après quelques réductions faciles :
T,= sin(/ie, -+-/it)cosA-£, — t cos(/ie,-+- »•) sin/re,, Tr=:sin(n£iH-/i«) sin/re, + t cos(/ïe, -+- /i«)cos/r£i,
D'après cela, les équations de la courbe sphérique décrite par l'extrémité de r seront
/ T-r-: /f TT — /i«— arccos=: Ar3\
x = ^i — /l'z'cosi A" I
. ( 1 ti — rit — arc cos = /iz\ -4-/i3Sin(Ar u
, Tz-L . /, TT — /lo— arc cos== kz\
y =z ^li — /i»2' Sin I AT j
/, TT — /!,— arccos = A-^X — /izcoslAr ]•
y* Pour connaître le mouvement de Tarèle v, on remarquera
I06 LIVRE 1. — 8BGT10M I. — CUAPITRB IIK
que Ton a les trois équations
rfv, = — j cosAte, cos(/tEi -h n«)(fei.
dvt=— i/ "*— p cos(n6, H- /i«)</e,;
dont les intégrales sont
v, = — cos(/ie,4- /i«)cosA*e,— 7;sin(fie,-H n^) sin/ie.,
Vy=— cos{/ie,H- Ho) sin/ie, -h T:sfn(/ie, -h »,) cosAc.,
v,=: — T sin (ne, -h n#).
D'apfès cela, la courbe sphérique décrite par les extrémités de V est de même espèce que la précédente et polaire de celle-ci.
D'après la forme des dérivées de t«, t^, Ti, on reconnaît que la courbe sphérique que décrit l'extrémité de r est une hélice cylindrique coupant sous angle constant les génératrices du cylindre qui projette la courbe sur le plan des xjTf et qu'il en est de même de la courbe sphérique décrite par Texlrémité de v.
Cette double condition caractérise entièrement ces deux courbes; car il suffit de dire qu'elles sont l'une et l'autre sphériques et de la classe des hélices, pour qu'elles soient entièrement caractérisées. La première condition donne, dat étant l'élément de la première courbe,
d(Ti = sin (n El -h n«)^ei,
et la seconde
doit
-j— = const.
ae,
Or dU = rfû), = nde^, on a donc
dcùi
ae.
PA88A6B DBS EQUATIONS ÊLfiMBNTAlRBS AUX GOOâDONNfiBS, BTC. IO7
dt^ est l'angle de contingence de la courbe décrite par t> dtAi est son angle de flexion. Les rayons de première courbure et de seconde courbure sont donnés par les équations
A sin(ne,-i- n.) v nsin(/tei + n«)
§ U. — DiftDCCTION DES COORDONN^BS D*UIf POINT DB LA COURBE.
Nous allons maintenant appliquer les théorèmes qui précèdent à la détermination analytique des coordonnées d'un point <)uelconque de la courbe, au moyen des équations élémentaires de cette courbe. Cette recherche importante, qui est le fond du problème de la théorie des courbes, ne peut pas conduire à une solution générale, à cause des difficultés d'intégration; mais elle fournit quelques résultats qui jettent un grand jour sur la véritable théorie des courbes. Ces résultats sont, d'une part, une classiGcation rationnelle des courbes et, de l'autre, une série d'intégrales obtenues géométriquement.
67. La recherche des coordonnées du point de la courbe au , moyen de ses deux équations élémentaires ne peut dépendre d^une équation différentielle supérieure au cinquième ordre. — En effet, la courbe est déterminée de forme au moyen de SCS deux équations élémentaires, mais non de position (n** 39). Or cette position n'est déterminée que lorsque l'on connaît les trois coordonnées d'un point et les angles que la tangente * en ce point fait avec les trois axes fixes; mais, comme les cosinus des angles sont liés entre eux par cette condition, que la somme de l^urs carrés égale l'unité, lorsque deux de ces cosinus sont connus, le troisième l'est également; il y a donc cinq constantes arbitraires, et, par suite, l'équation résolvante ne peut pas être d'un degré supérieur au cinquième.
Les variables se séparent et l'équation résolvante est ramenée au second ordre. — Supposons que l'équation élémentaire de la caractéristique sphérique soit donnée, la connaissance de cette équation sufOt, d'après le n** 64, pour déterminer le cosi-
Io8 LIVRE f. — SECTION I. — CIAPITKE III.
nus deTangleque la tangenie à la courbe feU avec un axe fixe. Taxe des x; mais ce cosinus dépend de rinlégration deTéqua* lion difTéreniielle en r« (n** 64). On a donc celle proposilion :
THfiORftMB I. — Le rapport spécifique angulaire de la courbff suffit pour déterminer la direction de la tangente au moyen d'une équation différentielle du second ordre.
La détermination des coordonnées du point dépend encore du rapport spécifique linéaire; et lorsque l'équation résolvante est intégrée^ ces coordonnées s'obtiennent par de simples quadratures. — En effel, après i'iniégralion de Téquation résolvanle, t« esl connu en foncUon de la variable e el de deux consumes arbitraires. Or soil/(e) ie rapporl spécifique linéaire donné de la courbe
on a les relalions
dx=^,f{z)dt; (3)
donc les inlégrales soni
dans lesquelles :r«, /«, z, sont les iruis constantes arbitraires. De ce qui précède on déduit les propositions suivantes :
THÉOHftMB II. — La détermination des coordonnées d'un point quelconque de la courbe au moyen de ses deux équafions élémentaires dépend d'une équation différentielle du second ordre et de trois quadratures*
Théorème III. — Si^ pour une valeur du rapport spécifique angulaire^ l* équation résolvante relative à ce rapport est inté-grable^ les coordonnées de toutes les courbes qui admettront ce même rapport spécifique angulaire s'ot>tiendront par de simples quadratures, quelle que soit leur caractéristique plane,
68. Intégrales de l'équation résolvante. — Nous allons maintenant énoncer quelques théorèmes relatifs à l'intégration d|& réquation résolvante.
PASSAGE DBS ÉQUATIOHS ÉLÉMENTAIRES AUX COORDONNÉES, ETC. lOC)
Théorème IV. — Si l'équation résohcmte est intégrable pour une valeur particulière du rapport spécifique, cette équation est encore intégrable lorsque ce rapport spécifique est égala la valeur de ce rapport relatif au trièdre dérivé ou au trièdre intégral de celui qui appartient au rapport spécifique donné,
et l'intégrale ne dépend que des quadratures.
En effet, si Ton se reporie aux n^ 56 et 57» on yoîI que, lorsque d^, di sont connus en fonction de la variable indépendante» les valeurs de ^c>> et de dt du trfèdre dérivé ou du trièdre intégral sont calculables en fonction de la même variable indépendante» soit par de simples difrérentiations» soit par de simples quadratures; et, si l'on se reporte aux n** 59 et suivants, on voit encore que» lorsque le cosinus t»» relatif au trièdre propre à une courbe» est connu en fonction de la même variable indépendante» les valeurs de ce cosinus relatives au trièdre dérivé ou au trièdre intégral sont aussi calculables en fonction de la même variable indépendante. Or» puisque Ton suppose que Téquation résolvante est intégrable pour la valeur du rapport spécifique angulaire que Ton considère» l'expression la plus générale de t« est connue en fonction de la
même variable qui donne le rapport -r-^ mais, d'après ce que
nous venons de dire» les valeurs de ce rapport et de t.» pour le trièdre dérivé ou le trièdre intégral» sont aussi connues en fonction d'une même variable. Donc les valeurs de t« sont les intégrales de l'équation résolvante pour Tune ou l'autre valeur
du rapport -j- • Donc
On déduit, de ce qui vient d'être dit» la proposition suivante :
Théorème V. — Si V équation résolvante est intégrable lorsque le rapport spécifique est égal à une certaine fonction de la variable indépendante, cette équation est encore intégrable lorsque le rapport spécifique est égal à la valeur de ce rapport pour un trièdre différentiel d'un ordre quelconque ou pour un trièdre intégral d'un ordre quelconque, et l'intégrale ne dépend que de simples quadratures. *
