LIVRE I. •— SECTION I. — CHAPITRE III

Considérons comme connu en fonction d'une variai)le t le rapport -T-^ on connaît (n*** 53 el suiv.), par cela même, en fonction de la même variable, la partie descendante de la série des rapports spécifiques -p-» --pp > • • • > -j-f^^ et la partie ascendante de la série des rapports spécifiques ^-^' ? tt— ^' • • • » -T-^« Or, par hypothèse, on connaît r,, qui est Tintégrale

"€— Il

générale de l'équation résolvante pour la valeur ^; donc on

connaîtra la série descendante des cosinus t^, r'».-., ri") el la série ascendante des cosinus t«.i, Tx.>,. . ., t».^, qui sont les intégrales générales de l'équation résolvante pour les valeurs correspondantes du rapport spécifique. .On a donc aussi cette proposition :

TafiORÈMS VI. — Si deux valeurs du rapport spécifique -r-

n' appartiennent pas à la même série de trièdres différentiels^ les intégrales de l'équation résolvante relatives à ces deux valeurs produisent chacune une série infinie d*intégrales des équations résolvantes de la série, et, si elles appartiennent à la même série, elles produisent l'une et l'autre les intégrales de la même série,

69. applications. — Problèste III. — Étant donnée la valeur nulle du rapport spécifique angulaire, trouver les intégrales de la série des équations résolvantes relatives à la série des rapports spécifiques des trièdres dérivés et des trièdres d'inté^ gration.

Dans le cas où ^ est nul, l'équation résolvante (c)(64) devient

~de -^- = ^'

dont rintégrale, en représentant par A, a deux constantes

arbitraires, est

Tx = Acos(g -f- a);

PASSAGE DES ÉQUATIONS ÉLfiMElfTAIRBS AUX COOEDORNÉES, ETC. 1 1 I

par une délerminalion convenable des constantes, on a

T, n= cose, Tj.= sine, t, = o; px = — sine, p^=c05e, p, = o;

Vg zzr O, Vy = G, V, = O. •

Trièdres différentiels, — Des équations précédentes on tire les relations (56)

cosH = T-, =0, sînH= -7-7 = 1, rfH = rfû)'=:o.

dt de

Ainsi le rapport spécifique -yV ^^ premier trièdre différentiel est nul; donc 11 en sera de même de tous les trièdres différentiels successifs.

Trièdres d'intégration. Premier trièdre intégral, — Si Ton remarque que Ton a les équations

sinBL, = --7^» — cosH-, =:-^j rfH, :=rf(i), as de

comme d(ù est nul, on voit que l'angle H^i est constant; donc,

si Ton pose

. sinH-, = a, — cosH«, = p,

a et (3 étant des constantes, on a les équations suivantes :

rfe i = a rfe, rf»i = 6 dt, , ""' = — •

^ ae-i a

Si Ton intègre ces équations, on aura, par une détermination convenable des constantes, les relations

e i = ae, a), = (3e.

D'après ces valeurs, l'équation résolvante (e), n'^âi, relative

à la valeur - du rapport spécifique, prend la forme

de a' de Les théorèmes que nous avons démontrés dans le numéro