Deuxième trièdre intégral. — On a les équations
-7 — ::= sm H 2, -7 — = — - cosH„
~ cotH a = -7^— ^> </H-î = rf<k}, ;
donc, si l'on a égard aux valeurs de rfw,, A-., déjà trouvées,
on obtient, en représentant par ^« la constante arbitraire,
l'expression
et, conséquemment, les deux relations différentielles c/e-2 = asin ((3e -f- (3o)rfe, ûf&>a = — acos(p6 4- ^„) de;
lesquelles étant intégrées donnent, par une détermination convenable des constantes, les deux équations
e,==— ^ cos((3£ -h (3.)t/e, tk)«, =— ^ sin(pe -+- p,).
On déduit la relation suivante :
-a -2 jjs
qui est l'équation élémentaire de la courbe.
La valeur du rapport -r^ se déduit des équations précède— a
dentés,
^=-cot(p£ + p.).
Au moyen de ces deux expressions, on calcule sans difO* culte la forme de l'équation différentielle résolvante relative
PASSAGB DBS ÉQUATIONS BLÉMBNTAIBKS AUX GOOBDORNÊBS, BTC. 1 1 3
au cas actuel. En effety si l'on a recours àTéqualion (T«r (6^)> on obtient
.- [ap cotg(pe -H p.) - ^^J r;.
[.-H3p.cot.(Pe-^p.)-^pfA]c;,
H- pa» lang( (3e -h (3.) Tx-2 = o.
L'intégrale de cette équation» d'après le théorème du n^ 66, est donnée par la première des formules suivantes, que l'on obtient au moyen des équations (sS)
r,-2 = — cose sin((3g + (3o) H- Psiaecos(pe + p.), v,,= cosecos((3e -4- (3p) -4- (3sinesin((3e + p,), p,î= a sine.
71. Troisième trièdre intégral. — Pour abréger, nous poserons
{ étant une nouvelle variable. Si l'on opère comme nous venons de le faire dans les deux numéros précédents, on trou* vera
de-i „.^rr ^"-3 n
-j — = smH.s, - — = — cosH-,,
dcù^i
rfe-3
= — cot H-^, rfH-8 = (/ci)-.2.
et conséquemment, en représentant par y une constante arbitraire,
BLs = û)-» 4- y = — • g sini -t- y,
rfe 3 = m sin t sin (y — m sin i ) rf/, rfû>8= — 'w sin I cos(y — m sin ï) di.
Au moyen de ces expressions, on calculerait sans difficulté l'équation résolvante dont l'intégrale est donnée immédiate-
f l4 UVKB 1. -— SECTION I. *- GBAPSTRS 111.
ment par les formules (a5)
r,, =— a sin — —■ cos (y — m sin /)
(cos — J-^ cos/ -f- (3 sin — —-•sinij cos(y — msini),
,,= asin — -^ cos(y — msini)
(cos — ^^ COS! -f- psîn — J-î sinij sin(y — msini),
p,-s=— COS — ^-^slni -f-psm — ~- cosi.
• En poursuivant de proche en proche, on obtiendra successivement, de la même manière, les intégrales des équations résolvantes successives, sans inlroduire d'autre signe intégral que celui qui provient du calcul des H successives, qui ne dépendront jamais que de simples quadratures; conséquemment, la forme analytique de ces quantités angulaires est connue. Il en sera donc de môme des intégrales de toutes les équations résolvantes successives.
Ces conclusions vont être mises en évidence dans le numéro suivant*
72. Trièdre intégral de l* ordre ». — On a les équations suivantes :
'''-" =sinH-„, ^^^-cosH-., rfH^ = rfa)
Or on a en fonction de la variable e les quantités relatives à Tordre intégral (/i — i) ; donc on connaît en fonction de cette variable dz-^x^ dcù^n^x ; conséquemment la dernière des équations précédentes donnera
et les deux premières donneront rfe. = rfe-.-n sin (/rfa)H,+. ), rfw— = — ds^^^x cos(/rfû)-*+, ).
PASSAGE DBS ÉQUATIONS tLÉMBNTAimi» AUX COOtDOITNfiBS, ETC. I l5
Donc les formules (sS) donneront
T, = — p.«^., sinf/rfa)+,) H- v,-,^.i cos{/rf&)-..+,), qui est Tintégrale générale de l'équation différentielle résol-
vante relative à la valeur actuelle de
rfe-«
73. Diverses formes de l'équation résonante, — L'équation résolvante prend des formes diverses^ suivant que Ton met en jeu diverses variables; comme il est utile de connaître ces formes, qui permettent de découvrir d^scas nouveaux d'Intégration de l'équation résolvante, nous allons, au lieu d'opérer par voie de transformation, calculer directement ces formes intéressantes par la résolution des deux problèmes suivants :
Problème VI. — Étant donnée l'équation naturelle -j- = i];, (e)
d'une courbe sphérique, trouver l'équation différentielle de la courbe.
Équation différentielle de la caractéristique sphérique. — Supposons [Jig. g) que Ton détermine un point r d'une courbe
sphérique par sa distance rà un point flxe P, comptée sur Tare de grand cercle passant par ces deux points^ et par l'angle 9
1 16 LITRE 1. — SECTION I. — CHAFmB III.
que ce cercle fait avec un grand cercle donné de position et passant par le point P. La question à résoudre est la suivante :
Étant donnée l'équation naturelle de la courbe sphérique — =^j;, (e), trouver l'équation de la courbe entre la deux
coordonnées r et 6.
Considérons un point infiniment voisin t, de la courbe sphérique et les arcs de grand cercle r, r-h dr qui mesurent la distance du pôle P à ces deux points. Soient tB l'arc de petit cercle décrit du point P comme pôle; di la projection de l'angle de contingence de cet arc sur le plan tangent. On aura
di==d9cosr;
mais, d'une autre part, on a
n jn • disiïir
cosr
Or, si Ton mène des arcs de grand cercle tangents aux trois sommets du triangle inOnitésimai tBti, on forme un pentagone dont les côtés seront des arcs de grand cercle; or la somme des angles de ce pentagone est égale à autant de fois deux angles droits qu'il y a de côtés moins deux plus l'aire. Donc, si l'on représente par ^ l'angle de r et de la tangente à la courbe, et qu'on remarque que l'aire est un infiniment petit du second ordre, on aura la relation
(a) rfw = rfp 4- rfi ;
mais, d'une autre part, on a les deux relations
//9\ /a ^'^ • /a s\n rdi
(S) cosô = -T-ï smô= -, f
^^' ^ de ^ cosrde
desquelles on tire
^ I fir^ smr y dt*
PASSA6B DBS ÉQUATIONS fiLÉHBNTAlRIS AUX GOOBDOimtBS, ETC. 1 17
Substituant ces deux expressions dans l'équation (a) et ayant égard à l'équation de la caractéristique, on obtient
, . d [dr\ rosr/ dr^\ , , ,. / dr^
L'intégrale de cette équation fera connaître r en fonction de e; la première des équations (|3) donnera Tangle (3 en fonction de ty et la deuxième di en fonction de la même variable;
Ai
donc réquation rf9= fera connaître l'angle coordonné B
cosr °
en fonction de la variable e. On a donc les deux coordonnées
r et d en fonction d'une seule variable : ce qui est la solution
complète de la question qui est subordonnée à l'intégration
de l'équation (y).
74, Troisième forme de l'équation résolvante. — Si l'on projette tous les points d'une courbe quelconque sur un plan, l'ensemble des lignes projetantes formera une surface cylindrique. Or si l'on développe cette surface sur un plan tangent, la courbe donnée et la section droite du cylindre se cbangeront la première en une courbe plane et la seconde en ligne droite. Réciproquement, si cette courbe plane est connue, ainsi que la section droite du cylindre, la courbe à double courbure sera déterminée.
ProblIuib VII. — Étant connue V équation élémentaire de la
section droite d'un cylindre -j- =i<^(e) par rapport à Vaxe
dsx des X, l'équation élémentaire --r^ z= f{ei) d'une courbe cy^
lindrique après le développement du cylindre^ par rapport à la ligne droite^ transformée de la section droite, trouver les équations élémentaires de la courbe cylindrique à double
courbure
Le trièdre dont le sommet est en A {fig. lo), etqui est formé par deux éléments consécutifs de la courbe da et par la ligne
Il8 LIVRE 1. — SBCTIOlf I. — CHAPITRE Ilf.
projetante AB du point A sur le plan des xy^ donne la relation
cosrf£ = sin^,sln(«,-h dcx) -+- cose, cos(tfi-i- rfe,)cosrfe.
Si l'on remplace sin(ei + de^) et cos(ei -f- dcx) par leurs valeurs et qu'on développe les lignes trlgonométriques infiniment
Fig. 10.
petites, en négligeant les infiniment petits du troisième ordre, on a, réductions faites.
rfe'=: rf^'cos'^1 -+- de\.
Soient p, r, r. les rayons de courbure des courbes o-, s et ^ i,
on aura
ds dsi d(T
dci
dt
Or, par la nature de la question, on a les deux relations [2] ds=: dacosci, dff^^dSii
donc, si Ton divise l'équation [i] par ^aS on obtiendra la relation
ds} de*, dé^
Kl
rfa» ds*.
ds*
cos^e,
PAS8A6B DES ÉQUATIORB ÊLÉHBNTÀlRIS AOX GOORDOlINtES, ETC. 1 19
et conséquemment
Si dans Téqualion
ds=z dsiCOSCi
on remplace ds et dsx par leurs valeurs, on trouve la relation
<f{e)de =/(«i ) cose, dei ; donc e est une fonction de ex ; on peut donc écrire
e = F{ex).
dt Or réquation [i^] donne ^ en fonction de e, ; donc ce rapport
est aussi connu en fonction de e.
Jngle{Vf z) du plan osculateur avec le plan de la section droite.— Si l'on projette le triangle dont la surface est d<r*sindt sur le plan de la section droite, on a le triangle dont la surface est ds*sïtïde;ûonc on a la relation
cos ( V, s) dc^de = rfi' de
et conséquemment, en ayant égard aux équations [2],
cos(v, ^) = -7- COS'tf,.
jfngles des axes mobiles r, p, v avec les trois €uces, — On a directement
T, = coset cos«, Tj = costfi sine, r, = sine ;
on en déduit
cosfp,^;) singt cose cos'gi sine
cosfp, r) sin^i sine cos*e, cose
P rx r
cosfp, z) coseï , X coseirfe,
120 LITIIB 1. — SICTlOn I. — CHAMTEB III.
et finalement
cosfv, j:) sine cosV, sineicose
cosfv, x) cose cos'e, sine, sine
cosfv, z) cos^e, cos'e,Je
p r rfg
Jngle de flexion. — L'angle de flexion dtù est donné par la formule (5j du n'^Si
J ( J cos'e.)
, Jcosfv»^)
cos(p, Z) rfe,
Équations élémentaires. — De ce qui précède, il résulte que les équations élémentaires de la courbe sont les équations [i], [i] et [3]. C. Q. F. D.
