Problème VIII. — Connaissant l'équation élémentaire
de la caractéristique sphérique -r-» trouver les angles de la tangente avec les trois axes.
Posons pour abréger -j- = e', --p- = e', , ^ = w', et nous
prendrons dg pour accroissement constant. Nous avons les deux équations [i] et [3] qui donnent immédiatement le systèiçe suivant :
e'^ -\- e'^cos'e,= i,
'—{e'cos'ei — (k>'(e,cose,)=.o de
Si l'on élimine e' entre ces deux équations, on obtient la nouvelle forme de l'équation résolvante (y)
(e) -7- (cose, v^i — «',^j— w'e', cose, = o.
ut
Cette équation est du second ordre. Si l'on parvient à Tinlé-
PASSAGIS DBS ÉQUATIONS tLÉHJBNTAlHBS AUX GOOftDONNtBS, ETC. 121
grer, on obtient e, en fonction de e» et» en ayant égard à la première des équations (<z)y on obtient e en fonction de la même variable, ce qui est la solution complète du problème, puisque les valeurs de Tx» t^, x» sont alors déterminées par les valeurs données au numéro précédent.
76. Abaissement de l'équation résolvante. — Les efforts de l'Analyse devant tendre vers l'intégration de l'équation résolvante, le D^ Hoppe a fait connaître, dans le Journal de Crelle, deux transformations d'une grande élégance, qui ramènent réquation résolvante à la forme linéaire du second ordre : la solution du problème qui précède nous a conduit à une autre forme d'une grande simplicité.
Remarquons que la première des équations (a) peut être remplacée par le système suivant, dans lequel m et n sont des fonctions arbitraires de e assujetties à cette seule condition que la somme de leurs carrés égale l'unité :
m€^, cosci-H n^'cos'^i = -=: (i-f- y^— I sin^i), né^ cosci — me'cos*^! = -r= (i -— \l—i sine,),
puisque, en élevant au carré et en faisant la somme, on retombe sur l'équation (a).
Si Ton différentie les deux équations précédentes et qu'on
remplace suivant l'usage ^— i par i, on trouve, en représentant par m\ n' les dérivées de m, n par rapport à e,
(m'-H w'n)e,cose,-h n'e'cos^c-hm ^(«^,cose,)=: --=e,cosei,
(n' — û.>'/n)e'cosei — /nVcosV-hn -r(e' cose,)= =é?' cose,.
Si l'on multiplie la première par n et la deuxième par — m et que l'on ajoute, on obtient l'équation suivante :
nm' — mn^ -^ w'= -T=(n — m),
122 LITRB I* — 81GTI01I I. — GHAPITtB III.
Si maintenant l'on pose
■- = lang<p,
OÙ obtient l'équation suivante :
(ç') -^ -H -7= (sinç — COS9) -+-«' = o,
que l'on peut aussi écrire sous la forme suivante :
Telle est la forme finale de l'équation résolvante que nous voulions établir. Cette équation est du premier ordre par rapport à la variable. Si l'on parvient à l'intégrer, on aura m et n en fonction de e. Soient ^ïït et <P'^ ces fonctions ; ajoutons les deux premières équations du présent numéro, après y avoir remplacé m et n par leurs valeurs ^ et X ; nous aurons l'équation suivante :
^ (sine,) -+• ■-= (Oit — X)sine, -+- -= (ait-h X)=: o.
Cette équation, étant linéaire par rapport à sinei, s'intègre immédiatement et fait connaître e, en fonction de e. Soit Ci cette fonction; si l'on fait la différence des deux premières équations du numéro, en ayant égard aux valeurs de m, n, e, on a l'équation
e'= 4= (^ ^- 3TI) -5^ -4- -4 (X - OR/) — î— , y'a ^ ' cos*e, ^2 cos'e,
qui s'intègre par de simples quadratures. On a donc, comme précédemment, les valeurs de t<, tr, Ts en fonction de e.
77. Transformation de V équation résolvante» — Considérons l'équation (9') et exprimons sin^p, cos<p et l'unité, facteur de ca', en fonction de sin7<p, cos^cp.
PASSAGE DBS tQUATlOlfS tLfiHSNTAIBSS AUX COOHDOMHÉES» ETC. 1 23
Nous aurons l'équation suivante, après avoir divisé par acos'yç :
( H-i(-L-..')u.ng49-i(^-«') = o.
qui représente l'équation d'Euler par rapport à la fonction tang|(p. Cette nouvelle forme prouve que, si l'on a une solution particulière de l'équation précédente, on pourra obtenir l'intégrale générale de cette équation.
L'équation précédente peut aussi s'écrire sous forme linéaire, mais elle passe au second ordre; il suffira de poser
z étant une nouvelle variable dont z' est la dérivée par rapport à s; on trouve alors la transformée suivante :
, . (Pz / fsi" i \ dz I /i ,A
qui est une équation linéaire du second ordre. Nous somme& arrivé à plusieurs autres transformations semblables, sur lesquelles nous croyons inutile d'insister, parce qu'elles n'a-^^ vancent pas la question, quelque curieuses qu'elles soient en elles-mêmes, et le seul progrès que nous ayons à signaler consiste foncièrement dans les théorèmes nouveaux que nous avons donnés aux n"^* 67 et 68, lesquels, s'ils ne donnent pas l'intégrale générale de l'équation résolvante, donnent une infinité d'intégrales générales relatives à des séries infinies de-
valeurs particulières du rapport spécifique angulaire --j-'
124 UVBB I. -^ SECTION I. — GBAPITRB III.
§ III. — Classification des courbes.
78. Conséquences des principes précédemment établis. — Fixons notre attention sur quelques faits importants qui résultent de rétude que nous venons de faire.
I. Toute courba gauche possède deux caractères essentiels Qt n'en possède que deux : l'un provenant de la nature
du rapport spécifique linéaire j-» et l'autre de la nature
du rapport spécifique angulaire -j-* En effet la forme de la
courbe est complètement déterminée par ce double caractère.
II. Le caractère provenant du rapport spécifique angulaire pénètre plus avant dans la nature de la courbe que le caractère provenant du rapport spécifique linéaire. Cela résulte : 1® de ce que le premier caractère détermine à lui seul la direction de la tangente de la binormale et de la normale principale que le second caractère n'est pas apte à déterminer; a"* de ce que le second caractère n'intervient que dans la dé* termination du point de la courbe; 3® de ce qu'il y intervient pour une plus faible part que celle due au premier caractère, la question de la détermination du point ne pouvant être résolue et ramenée aux quadratures qu'après la détermination de la tangente au moyen de cosinus de l'angle de cette tangente avec une direction fixe.
Le premier caractère a donc quelque chose de plus intime, et le second quelque chose de plus superficiel. Le caractère provenant du rapport spécifique angulaire doit donc primer le caractère provenant du rapport spécifique angulaire dans la classification des courbes.
III. Principes de classification. — Étant donnée une courbe par ses deux équations naturelles, on doit concevoir que la fonction qui donne le rapport spécifique linéaire contienne une ou plusieurs constantes; le rapport spécifique angulaire ne changeant pas, on peut donner à ces diverses constantes différentes valeurs numériques. Â chaque valeur correspond une courbe particulière, et l'ensemble de ces
PASSAGE DBS tQUATIONS ALfiMENTAllI» AUX GOOftDONlftBS, ETC. 125
valeurs donnant un ensemble de courbes, ces courbes sont liées entre elles par la nature de la fonction qui représente le rapport spécifique linéaire, laquelle reste invariable de forme malgré toutes les valeurs particulières attribuées aux constantes; ces courbes forment donc une famille. On a donc cette proposition :
Le rapport spécifique angulaire restant le méme^ chaque forme de fonction du rapport spécifique linéaire détermine une famille de courbes, et dans chaque forme de fonction les valeurs attribuées aux paramètres déterminent une courbe individuelle correspondante,
IV. Si l'on considère une valeur déterminée du rapport spécifique angulaire et la série de fonctions qui représentent le rapport spécifique linéaire, on a un ensemble de familles de courbes qui ont toutes un caractère commun se rapportant à la valeur déterminée du rapport spécifique angulaire. Nous en concluons cette proposition :
L'ensemble des familles de courbes ayant même rapport spécifique angulaire forme une classe donnée par la valeur de ce rapport.
y. Si, parmi toutes les fonctions qui peuvent représenter le rapport spécifique angulaire, on considère seulement celles que Ton obtient lorsque, donnant pour ce rapport une fonction déterminée, on choisit celles qui se rapportent à la série des trièdres différentiels du trièdre donné par cette fonction, et aussi celles qui se rapportent à la série des trièdres prlmi* tifs d*un ordre quelconque de ce même trièdre, on obtient une série infinie de classes qui ont un caractère commun donné par la loi qui régit les trièdres dérivés et primitifs du trièdre donné. Cette dépendance de rapports spécifiques angulaires sera exprimée par nous par le mot généalogie, et la série des classes correspondantes sera appelée série généalogique de classes. On a donc cette proposition :
La série de classes appartenant à une même généalogie est infinie et se trouve tout à fait déterminée lorsqu'une des classes de la série généalogique est déterminée.
ia6 UVIS I. -^ SECTION I. — GBAPITIB 111.
79. Application de ces principes. — La classe des courbes la plus simple est celle qui correspond è la valeur nulle du rapport spécifique angulaire. Dans ce cas, l'angle de flexion est nuU et Ton a la classe des courbes planes.
La classe la plus simple après la précédente est celle qui correspond à la valeur constante du rapport spéciflque angu* laire; dans ce cas» on reconnaît, en se reportant aux formules du n^ 65, qu'il y a une direction fixe avec laquelle la tangente fait un angle constant; par conséquent» en menante des différents points de la courbe des droites parallèles à cette direction, on aura une surface cylindrique telle, que la tangente coupe ses génératrices sous angle constant; la courbe est donc une bélice. Cette seconde est la classe des hélices.
Si Ton considère la classe qui correspond à la valeur du rapport spécifique angulaire donné par l'équation en termes finis du n® 70.
à cause de la forme de cette équation, on pourra appeler cette troisième classe classe des cjrclides, ou bien, comme il sera toujours facile de trouver une propriété géométrique relative à la tangente, on pourra définir cette classe par cette propriété, et ainsi de suite.
Après avoir défini les classes, il faudra aussi définir les séries généalogiques des classes. La seule série généalogique que nous ayons étudiée est celle qui contient la valeur nulle du rapport spécifique angulaire, et qui a été l'objet de nos recherches dans les n^ 69 et suivants. Cette série, qui est la plus simple de toutes, a un caractère qui lui est propre, et qui consiste en ce que, au lieu d'être infinie dans les deux sens, dans l'ordre différentiel et dans l'ordre intégral, elle est limitée dans un sens par la valeur nulle du rapport spécifique angulaire, mais elle est illimitée dans le sens des trièdres d'intégration. Ainsi, en partant de la classe des courbes planes et en s'élevant dans l'ordre intégral, on trouve successivement la classe des hélices, celle des cyclides^ etc., ce qui établit une dépendance forcée entre ces classes; au contraire, en des-
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cendant dans Tordre différentiel, on trouve constamment la même classe, la classe des courbes planes. Ces faits correspondent è des circonstances intéressantes au point de vue géométrique, et que nous signalerons dans notre théorie des développées successives des courbes planes.
L'étude des courbes à ce point de vue nouveau est a peine ébauché; et, quoiqu'il ait été fait de belles recherches sur ce sujet, c'est a peine si deux ou trois cas d'intégrabilité résolvante avaient été signalés, et encore ces cas ont entre eux ce lien inaperçu d'après lequel ils dérivent l'un de l'autre par la loi de généalogie, de sorte que, lorsqu'une intégrale a été trouvée pour un de ces cas, on en déduit facilement les intégrales relatives aux autres cas par de simples quadratures, ce qui, d'une part, limite la portée de ces cas nouveaux d'intégration, et ce qui prouve, d'une autre part, que l'existence des séries généalogiques d'intégrales n'a pas été constatée.
Dès que l'existence des séries généalogiques est prouvée, on voit alors que les classes d'une même série ont entre elles une parenté, qu'il y a une filiation de classes. Ainsi la classe des courbes planes produit la classe des hélices, la classe des hélices produit la classe des cyclides, etc.
On est également sûr qu'une classe appartenant à une série généalogique ne peut pas appartenir à une autre série généalogique, toutes les classes de deux séries généalogiques distinctes étant forcément distinctes, comme cela résulte des théo^ rèmes que nous avons démontrés au n"" 67; il résulte de là que Ton pourrait définir une série généalogique de classes par la classe la plus simple contenue dans cette série.
