ÉTCDE GÉNÉRALE DE CES SURFACES ET DE CES COURBES

80. Prélude. — L'élude approfondie d'une courbe gauche donnée conduit à considérer des surfaces et des courbes intimement liées avec la courbe gauche, dont les propriétés sont en quelque sorte manifestées par les propriétés de ces surfaces et de ces courbes. Or toutes ces surfaces et toutes ces courbes résultent du mouvement d'un trièdre trirectangle dont l'arête principale serait la tangente à lacourbe, en supposant que la tangente à la courbe entraîne dans son mouvement le trièdre auquel elle donne naissance, le sommet 0 de ce trièdre étant constamment le point de contact de la tangente avec la courbe. Chacune des arêtes Or, Op, Ov du trièdre engendre une surface réglée qu'il est utile de considérer, et chacune des faces du trièdre enveloppe aussi une surface développable qu'il est non moins utile de faire intervenir. Les courbes d'intersection de chacune des premières surfaces avec chacune des secondes jouent aussi un rôle important ; il en est de même des lignes de striction de celles des surfaces qui sont simplement réglées, comme aussi des lignes de rebroussement de celles qui sontdéveloppables. Or toutes ces surfaces et toutes ces courbes qui ont des définitions spéciales et qui peuvent être considérées isolément ont entre elles un lien commun qui est

l3o LIVRE I. — SECTION II. — CHAPITRE lY.

le trièdretrireciangle qui leur donne naissance, et elles gagnent à êlre étudiées sous l'influence de celte idée d'ensemble qui dévoile leur parenté, parenté qui se traduit par des relations facilement exprimables quand on fait intervenir leur véritable principe de génération, qui est le mouvement du trièdre dont il s'agit. Et même, comme la coïncidence de l'arête fondamentale du trièdre trirectangle avec la tangente à la courbe est une restriction qui modiOe quelquefois la nature des surfaces qui dérivent du mouvement des trois arêtes, ou oblitère les propriétés géométriques dans leur généralité, nous étudierons, dans un premier paragraphe, les surfaces engendrées par les arêtes ou enveloppées par les faces d'un trièdre dont l'arête principale ne serait pas la tangente à la courbe, mais une droite mobile quelconque. Celte généralité ne nuira d'ailleurs en aucune manière à la simplicité des résultats.

§ !• — Des surfaces et des courbes résultant du MOUVEMBinr

d'un trièdre.

81. État de la question, — Supposons que la droite mobile, dont un point 0 décrit une courbe donnée, entraîne avec elle un trièdre trirectangle ayant constamment son sommet au point décrivant, une de ses arêtes Or constamment en coïncidence avec cette droite, et la seconde arête 0 v constamment perpendiculaire à deux directionsinfinimentvoisines de la droite mobile, de manière que le mouvement relatif de la droite mobile s'effectue, pour un spectateur placé suivant Ov de gauche à droite; la direction de la troisième arête Op sera déterminée et sera comptée suivant ce mouvement. En cet état, si une sphère ayant son centre constamment en 0 se meut parallèlement a elle-même, chacune des arêtes engendrera dans l'espace une surface qui généralement sera gauche, et chaque face perpendiculaire à Tune de ces arêtes enveloppera une surface développable. Nous représenterons les trois premières par 2„ 2,, 2j, et les trois secondes par S„ Sv, Sp. De plus, chacune de ces arêtes tracera sur la sphère une courbe sphérique, et chaque face enveloppera sur cette sphère une courbe sphérique.

SURFACES ET COUaBES RÉSULTANT DU MOUVEMENT d'uN TRIÈDRB. i3i

De la surface S„ enveloppe de la face 0 vp, perpendiculaire à l'arête principale. — Si nous considérons le plan Ovp dans une de ses positions et dans sa position infiniment voisine O'v'p', leur intersection G, sera la génératrice die la surface engendrée S^. Si nous prenons une troisième position 0"v"p", infiniment voisine de la précédente, leur intersection G', sera une seconde position de la génératrice : ces deux

droites se couperont généralement, puisqu'elles sont situées dans un même plan 0' v'p'; de là résulte cette proposition :

La surface S, est engendrée par une ligne droite dont deux positions infiniment voisines se rencontrent^ et est par conséquent une surface développable.

De plus, comme le plan O'v'p' contient deux positions infiniment voisines de la génératrice, ce plan est à la limite tan» gent à la. surface, et le point d'intersection de ces deux positions de la génératrice est un point de l'arête de rebroussement. Si Ton considère une troisième position G^ de la génératrice, elle rencontre G!, et ainsi de suite; la série des points d'intersection des génératrices infiniment voisines se rencontrant successivement est l'arête de rebroussement de la surface Sx. Chaque génératrice ayant deux points sur cette arête est tangente à cette courbe. Chaque plan O'v'p' contenant deux positions infiniment voisines Gx, G!, de la génératrice contient deux tangentes infiniment voisines de l'arête de rebroussement et est un plan osculateur de cette arête.

Enfin le plan Opv osculateur de l'arête est perpendiculaire à Or; l'angle de deux plans osculateurs infiniment voisins est l'angle (t, t') de deux positions infiniment voisines de Ot; de . plus, l'intersection Gx est perpendiculaire au plan parallèle aux deux positions de Ot; donc elle est parallèle à l'arête Ov du trièdre mobile; donc l'angle de deux génératrices infiniment voisines est le même que l'angle de deux positions infiniment voisines de l'arête Ovdu trièdre. Il résulte de là la proposition suivante :

TufiORfeME I. — La caractéristique sphérique de Varéte de rebroussement de la surface ^^^ enveloppe de la face du trièdre

l32 LIVRE I. — SECTION II. — CHAPITRE IV,

perpendiculaire à Varéteprincipcde Or, est la courbe sphérique décrite par la deuxième arête Ov du trièdre.

De là résulte que les angles de première, de deuxième et de troisième courbure de l'arête sont (v, v'), (t, r'), (p, p').

82. De la surface Sy enveloppe de la face Opr. — Si Ton raisonne comme on vient de le faire au numéro précédent, on verra que la surface Sy, enveloppe des positions successives de la face Opr, est telle que son plan tangent est perpendiculaire à l'arête Ov du trièdre, et que la génératrice de cette surface développable est parallèle à l'arête Ot du même trièdre; on en tire cette conclusion : que la surface Sy, enveloppe de la face perpendiculaire à Tarête Ov, est telle que l'angle de contingence et l'angle de flexion de son arête de rebroussement sont l'angle de deux positions infiniment voisines de Or et l'angle de deux positions infiniment voisines de Ov, et que son angle de ^troisième courbure est l'angle de deux positions infiniment voisines de la troisième arête Op.

On a de plus le théorème suivant :

TafiORfeMB IL — La caractéristique sphérique de l'arête de rebroussement de la surface Sy est la même que la courbe sphérique décrite par V arête principale Or du trièdre f

83. De la surface S^, enveloppe de la troisième face du trièdre, — En raisonnant comme précédemment, on voit que le plan tangent à celte surface est vOt perpendiculaire à l'arête Op du trièdre et que la génératrice de la surface est l'intersection de deux positions infiniment voisines de ce plan, c'està-dire la ligne rectifiante, perpendiculaire au plan pOp' (37) et par conséquent parallèle à Ogj; donc, si l'on se reporte au n®52, et qu'on remarque que le trièdre dont les arêtes sont Op, Ogj, OX est le premier trièdre dérivé du trièdre primitif, on obtient le théorème suivant :

TflfiORÈME III. — La caractéristique sphérique de l'arête de rebroussement de la surface Sp, enveloppe de la face perpendiculaire à Op, est la courbe sphérique décrite par la deuxième arête Om du trièdre dérivé du premier ordre.

SUBFAGES ET COURBES RÉSULTANT DU UOUVEMENT d'uN TRIÈDRE. 1 33

Les angles de première, de deuxième et de troisième courbure de l'arêie de rebroussement de la surface S» sont donc

rfarclang=-|^^-j, (p,p'), y/(p,p7H- |^darctang= |-^|^,j]'.

On peut condenser en un seul les trois théorèmes précédents :

La caractéristique sphérique de l'arête de rebroussement d'une surface, enveloppe d 'un plan mobile, est la courbe décrite sur la sphère par la deuxième arête d'un trièdre trirectangle dont l'arête principale serait la perpendiculaire au plan.

84. Des surfaces enveloppes des faces du premier trièdre dérivé, — Le premier trièdre dérivé de celui qui a Or pour arèle principale esl le dernier trièdre que nous venons de considérer et dont les arêtes sont Op, Ocj, OX. Si, pour éviter toute confusion d'accents, nous représentons ces arêtes respectivement par Oti, Ov,, Op„ en raisonnant comme nous venons de le faire, nous obtiendrons trois surfaces St^» Sy,, S^^, enveloppes des faces de ce trièdre, et rien ne sera plus facile, en se reportant au n"" 81, que d'avoir les caractéristiques sphériques des arêtes de rebroussement de ces surfaces.

Des surfaces enveloppes des faces du premier trièdre intégral, — De même, si l'on représente par Ot i, Ov,, Op-i les trois arêtes du trièdre intégral du premier ordre, on obtiendra trois surfaces S-,, Sv,, Sj,, enveloppes des faces de ce trièdre, et il sera encore facile, en se reportant au n®81, d'avoir les caractéristiques sphériques des arêtes de rebroussement de ces surfaces.

85. Tableau des angles de première^ de deuxième et de troisième courbure des arêtes de rebroussement de ces diverses surfaces.

Soient

rfe, rfû), dM les déplacements angulaires du trièdre primitif; rfg,, d(ùx, rf«, les déplacements angulaires du trièdre dérivé; rfe,, rfo)-,, rf«i les déplacements angulaires du trièdre intégral du premier ordre.

l34 L!¥BB I. — SECTION II, — CHAPITRE IV.

Si Ton pose les équations (52)

sinH-,—

rfe

dt

' >cosH-,= —

sinll =: -T-9 cosH =

tangIL., rotang H = —

de de-i

de^ dû}

de

d(ù dex^

don = rfH i,

ICùi

dE,

et que Ton remarque rideniîlé des angles dv, rfe,; de, rf»,, on aura le tableau suivant:

Surfaces.

Angles

première courbure.

Angles

de deuxième courbure.

Angles

de

troisième courbure

— rfecosf/rfw) de sin{ fd(ù) dûi

de s'il) —décos de

de de du

day de

dn

dE

de dM

dH

dti dv

)/dH' -t- dti}

s/dv^-i-dW

dn rfarc

lang —

dE

dn /- ~

\/d\i'-hdl\'

-dH'

Comme la troisième face de chaque triedre est dans le même plan que la première face du trièdre suivant, il en résulte que les surfaces Sp, el S, sont les mêmes, qu'il en est de même des surfaces Sp et S,,. Il y a donc pour chaque trièdre les deux premières surfaces conjuguées entre elles, de telle sorte que Tangle de coniingence de Tarête de rebroussement de Tune égale l'angle de flexion de Tarête de rebroussement de l'auire surface. La troisième surface est la même que la première sur face du trièdre suivant.

On calculerait de la même manière les angles de première^

gUBPACES ET COUEBES BfiSULTANT DU MOUVEMENT D'ON TRIËDEE. i35

de deuxième, de troisième courbure des arêtes de rebroussement des surfaces enveloppes des faces des trièdres dérivés du deuxième ordre et des ordres suivants, et de chaque trièdre intégral du deuxième ordre et des ordres suivants, de sorte que les caractéristiques sphériques des arêtes de rebroussement des surfaces de la série descendante et de la série ascendante sont, ou du moins peuvent être déterminées.