LIVR£ I. — SECTION II. ~ CHAPITRE IV

De même» si du point 0 de la courbe directrice on abaisse une perpendiculaire sur la génératrice correspondant à ce

Fig. II.

point de la surface Sv, cette droite est située dans le plan rOp tangent à la surface (82) et de plus est perpendiculaire à Or, qui est parallèle à la génératrice de cette surface; donc elle coïncide avec Op. Donc la surface 2^ est encore le lieu des perpendiculaires abaissées des divers points de la courbe directrice sur les génératrices de la surface &, situées dans les plans tangents menés par ces divers poinls de la courbe. Donc :

Théorème V. — La surface 2^ et la surface S^ ne peuvent avoir un point commun situé sur deux génératrices correspondantes.

En effet (fig. 12), le plan tangent mené du point 0 à la surface Sp est vOt, qui touche cette surface suivant une génératrice Gp; or la génératrice de la surface 2^ est Tarête Op; donc généralement le point 0 ne se trouvera pas sur la génératrice G, : cela ne peut arriver d'une manière générale qu'après l'intro-

SURFACES BT COURBES RÉSULTANT DU HOUYBMBNT l»'Ulf TRIÈDEB. l'a*]

duction de cette condition que le point 0 coïncide avec l'intersection de Or et de Gp.

87. Des courbes d'intersection de la surface S^ et des surfaces 2x, 2v.

THfiORftHB VI.— La surface S^ rencontre les surfaces Ixf 2* en leurs lignes de striction,

I* Si l'on détermine sur chaque génératrice d'une surface réglée le pied de la perpendiculaire commune à cette génératrice et à la génératrice infiniment voisine, le lieu des pieds de ces perpendiculaires est la ligne de slriclion.

t2"Si du point 0 de la courbe directrice on mène un plan tangent à la surface S^, ce plan vOt (83) touchera la surface Sf suivant une de ses génératrices 6^ qui est parallèle à Ow; et, comme Ogj fait un certain angle variable avec Or, Ov, qui sont les génératrices correspondantes des surfaces S,, Sv, ces génératrices rencontreront la génératrice G^ de Sp.

3"*. Soient {fig. 12) A et B les points où les côtés de l'angle droit tOv rencontrent la génératrice G^, À'B' les points où

Fig. la.

les côtés de l'angle droit r'O'v', dans une position infiniment voisine, rencontrent la génératrice G^ , la surface S^ étant développable, le quadrilatère AA'BB' est situé dans le plan tangent t'O'v' à la surface S^. Donc, si du point A on abaisse

l38 LIVRE I. — SECTION II. — CHAPITRE IV.

une perpendiculaire sur la génératrice A'O'de la surface 2-e, elle restera située dans le plan tangent r'O'v' et sera à la limite parallèle à Ov, qui est la direction de la plus courte distance des deux génératrices infiniment voisines (86); il en résulte que cette perpendiculaire n'est autre chose que cette plus courte distance. Donc le point A est un point de la ligne de striction de la surface Z, et, par une raison semblable, le point B est un point de la ligne de la surface X. Donc :

Thêobèmb VII. — Les surfaces 2, et S^ont les génératrices parallèles; il en est de même des surfaces 2v, S,,

En effet, la génératrice de la surface 2, (fig. ii) est parallèle à Ov (82), la génératrice de la surface 2^ est parallèle à Ot. Donc :

Théorème VIII. — Les surfaces 2^, S, ne se rencontrent pas suivant les génératrices correspondantes; ces génératrices non situées dans un même plan ont des directions perpendiculaires^ et pour plus courte distance un segment de Op. // en sera de même des surfaces 2v, Sv

En effet, les génératrices de 2,, S, [fig. ii) sont Ot et une parallèle à Ov qui rencontre Tune et l'autre Op; il en est de même des génératrices des surfaces 2v, Sy qui sont Ov, et une parallèle à Ot, et qui rencontrent Tune et Tautre Op.

Il résulte de ces théorèmes que le système des courbes d'intersection des surfaces S„ Sy, Sp avec les surfaces 2„ 2v, 2p suivant les génératrices correspondantes est égal à quatre : deux résultant de Tiniersection de 2^ avec les surfaces Sa, Sy, et deux autres résultant de l'intersection de S^ avec les surfaces 2.e, 2v. La distance des génératrices correspondantes de Sx, Sy se compte sur la génératrice de 2^; les lignes de striction des surfaces 2,, 2v sont leurs intersections avec la surfece S^.

Pour avoir la ligne de striction de 2^, il faudra recourir à la série des surfaces 2,,, 2y,, 2p, et à la série des surfaces S,,, Sy,, Sp, et Ton reconnaîtra que Tintersection de 2,, avec Sp,, donne la ligne de striction de 2x,. On a donc la proposition suivante :

SURFACES ET COURBES RÉSULTANT DU MOUVEMENT d'uN TRIËDRE. I 39

La surface S\ coupe la surface 2^ suivant ta ligne de striction»

88. Condition pour que la surface 2, soit développable, — Pour que la surface 2, soil développable, il faut que deux positions infiniment voisines de la droite mobile, telles que Or, O't' ijig. i3), se renconirenl. Or la droite Ov est perpendicu*

Fig. i3.

laire au plan de ces deux droites, et, par suite, à la corde 00'; donc, lorsqu'on passera à la limite, la droite Ov sera perpendiculaire à la tangente à la courbe directrice.

Réciproquement, si Ov est perpendiculaire à la tangente à la courbe au point 0, les deux droites Or, O't' se rencontreront. En effet, Ov est perpendiculaire aux trois droites passant par le point 0 : la tangente, la position Ot et la parallèle 01 menée par ce point à O't', puisque, par définilion, Ov est perpendiculaire à deux positions infiniment voisines de Ot; donc ces trois droites sont situées dans le même plan, donc les droites 00', Ot, O't' sont aussi dans le même plan, et, par conséquent, à la limite, les droites Ot et O't' se rencontrent. De là on tire ce théorème :

TRfiORÈMB IX. — Pour que la surface 2, soit développable, il faut et il suffit que la droite 0 v, perpendiculaire à deux positions infiniment voisines de la droite mobile Ot, soit aussi perpendiculaire à r élément de courbe décrite par le point O.

Lorsque les diverses positions de la droite Ov remplissant ces conditions seront connues, il sera facile d'obtenir celles de la droite mobile; il suffira de mener par le point 0 la droite Ov et une parallèle à la position infiniment voisine de cette droite, et ensuite de mener par le point 0 une perpendiculaire Ot au plan de ces deux droites, ou bien encore de mener par les points 0, 0' infiniment voisins de la courbe

l4o LIVEB I. — SEGTIOIT II. — GBAPITRB IT-

deux plans perpendiculaires aux deux directions de Ov, et par le point 0 une parallèle à l'intersection.

Applications du théorème précédent, — i® Si les positions de la droite Ov sont celles de la binormale à la courbe, la face perpendiculaire rOp est le plan osculateur, et Tinterseclion de deux plans osculateurs infiniment voisins est la tangente à laf courbe, de sorte que la surface 2, coïncide avec Sv et est l'enveloppe des plans osculateurs de la courbe, laquelle coïncide avec l'arête de rebroussement de la surface.

2** Si les positions de Ov sont celles du rayon de courbure, la surface 2t sera la surface rectifiante de la courbe.

S'' Si les positions de Ov sont les normales à une surface qui contient la courbe, la surface 2, est l'enveloppe du plan tangent à la surface mené par les différents points de la courbe.

4° Si les positions de Ov perpendiculaires aux tangentes correspondantes' de la courbe forment elles-mêmes une surface développable, les positions de Ot formeront une surface développable qui coupera la première orthogonalement. De là résulte ce théorème connu, que si deux surfaces se coupent orthogonalement suivant une ligne de courbure de l'une des deux surfaces, cette intersection sera aussi une ligne de courbure de l'autre surface.

Démonstration analytique. — A cause de l'importance de la proposition énoncée au commencement de ce numéro, nous allons l'établir encore par voie analytique.

Soient les équations cartésiennes de la droite Or

a, p, y les cosinus des angles de la droite avec les trois axes, et x' —x,y'—yy z' — z les projections de la longueur p comptée à partir du point (a;, j, z) situé sur la courbe. Pour le point infiniment voisin de la courbe, on a les trois équations

rfa: H- prfa-f- arfp == o. (3)

Si l'on élimine p, (/p entre ces équations^ on trouve la condition

dx(yd^ — ^dy) -h dyiady — ydoc) -h dz(pda — ad(3) — o,

SURFACES ET COURBES RÉSULTANT DU aOUVEMENT d'uN TEiftDRE. l4l

que l'on peut écrire sous, la forme suivante :

dxcos[v, ar)-+- dycos(v,x) -+- dz cos{v, 2) = o,

qui exprime la condition que la direction de la droite Ov perpendiculaire à deux positions infiniment voisines de la droite Or soit aussi perpendiculaire à la tangente à la courbe directrice.

§ IL — Des lignes et des surfaces qui se rapportent