A UNE COURBE GAUCHE
89. État de la question. — L'étude d'une courbe conduit, comme nous l'avons déjà vu, à considérer des surfaces et des lignes qui font connaître plus intimement la nature de cette courbe; or toutes ces surfaces et lignes auxiliaires s'Introduisent nécessairement par la considération du trièdre trirectangle que nous venons d'étudier d'une manière générale. Il suffit d'admettre, et nous admettrons dans tout ce qui va suivre, que la droite principale Ot du trièdre coïncide avec la tangente à la courbe donnée.
Plans et droites. — Plan normal. — La face du trièdre per pendiculaire à Or est le plan normal.
Binormale. — L'arête Ov qui est perpendiculaire à deux positions infiniment voisines de la tangente est la binormale.
Plan osculateur. -^ La face perpendiculaire à Ov, passant par deux positions infiniment voisines de la tangente, est le plan osculateur.
Normale principale. — L'arête Op, qui est située dans le plan osculateur et est perpendiculaire à la tangente Or, est la normale principale et donne la direction du rayon du cercle osculateur.
Plan rectifiant. — La face perpendiculaire à Op, qui contient la tangente Or et est perpendiculaire au plan osculateur, est le plan rectifiant.
Droite rectifiante. — La ligne Ogt, intersection de deux plans rectifiants infiniment voisins tOv, t'O'vS et par conséquent perpendiculaire à deux positions infiniment voisines de Op (52), est la droite rectifiante.
l4a LIVBE I. — SEGl'ION II. — GHAPlTttB IV.
Angles de première y de deuxième ^ de troisième courbure, — L'angle de deux positions infiniment voisines de la tangente est dz\ Tangie de deux positions inQniment voisines de la binormale ou bien l'angle de flexion est (/w; l'angle de deux positions infiniment voisines de la normale principale, ou bien l'angle de troisième courbure est d\i.
Surfaces courbes. — Surface polaire. — Le lieu des intersections successives de la face vOp perpendiculaire à la tangente est la surface St, développable dont la génératrice est parallèle à Ov; elle est donc le lieu des intersections successives du plan normal à la courbe donnée appelée surface polaire par Monge.
Surface osculatrice. — La surface Sv est la surface lieu des intersections successives du plan osculateur à la courbe; cette surface est appelée, pour cette raison, surface osculatrice de la courbe. Sa génératrice est Or tangente à la courbe.
Surface rectifiante. — La surface S^ est la surface lieu des intersections successives du plan rectifiant; elle est appelée, pour cette raison, surface rectifiante; elle a pour génératrice la ligne rectifiante Oe.
La surface 2, est le lieu des positions de la tangente Or à la courbe; elle cesse d'être gauche parce que, d'après le théorème IX (88), l'arête Ov est perpendiculaire à la courbe donnée; elle devient développable, et les deux surfaces 2, et Sy se confondent entre elles.
La surface 2v est la surface gauche lieu des positions successives de la binormale.
La surface 2^ est la surface gauche lieu des positions successives de la normale principale.
90. Intersections des surfaces S e^ 2. — Les courbes d'intersection des surfaces S et des surfaces 2 deviennent l'objet d'une étude facile, par suite de l'introduction du trièdre trirectangle.
Intersections de la surface 2^ et des surfaces S, et S». — D'après le théorème IV (86), la surface 2^, lieu des positions du rayon de courbure, coupe la surface Sx, surface polaire, et la surface Sv, surface osculatrice, de manière que chaque génératrice Op de 2p est à la fois perpendiculaire sur la généra-
SURFACES ET COURBES RlftSULTANT DO HOUVEMfiNT D*UN TRlfcDRE. 1 43
trice correspondante de S, et sur la génératrice correspondante de Sv qui est tangente à son arête de rebroussement. Or la dernière courbe n'est autre chose que la courbe donnée ou, pour parler plus exactement, il y a superposition de ces deux courbes.
Lieu des centres de courbure. — La courbe d'intersection de 2p avec S, est le lieu des centres de courbure de la courbe donnée, puisque le centre du cercle osculateur est le point d'intersection du plan osculateur et de deux plans normaux infiniment voisins. Or la génératrice de S, n'est autre chose que l'intersection de ces deux plans normaux.
Axe polaire. — On voit que l'intersection de deux plans normaux Infiniment voisins est perpendiculaire au'plan oscu* lateur, et que chaque point de cette intersection est à égale distance de trois points infiniment voisins de la courbe qui détermine les deux tangentes auxquelles se rapportent les deux plans normaux, de sorte que, si cette intersection est l'axe d'un cône qui a pour base le cercle osculateur et dont le sommet se trouve en un point quelconque de Taxe, on pourra décrire le cercle osculateur en prenant ce sommet comme pôle. L'axe polaire ou le lieu des pôles du cercle osculateur n'est donc autre chose que la génératrice de la surface St, et cette surface se présente maintenant comme étant le lieu des axes polaires de la courbe, ce qui justifie la dénomination de surface polaire que lui a donnée Monge.
Intersection de la surface Sp et des surfaces 2,, 2v. — D'après le théorème VI (87), la surface rectifiante Sp coupe la surface osculatrice 2, suivant sa ligne de striction. Or, comme dans le cas actuel la surface 2,, qui n'est pas distincte de Sy, est une surface développable ayant la courbe donnée pour arête de rebroussement, il en résulte que la ligne de striction n'est pas distincte de cette arête de rebroussement, conclusion évidente par elle-même. D'une autre part, la surface S^ coupe aussi la surface 2v, lieu des binormales, suivant sa ligne de striction, et, comme cette intersection n'est autre chose que ecourbe donnée, on arrive à cette proposition :
La courbe donnée est la ligne de striction de la surface lieu des binormales.
I/f4 LIVRB I. — SECTION II. — CHAPITRE IV.
Intersection des surfaces 2^, Sp. — D'après le théorème V (86), les surfaces 2p et Sp ne peuvent se rencontrer suivant deux génératrices correspondantes, à moins que le point 0 ne se trouve constamment sur la génératrice de la surface S^. Or c'est ce qui arrive dans le cas actuel ; de là résulte que la surface rectifiante Sp rencontre, suivant la courbe proposée, la surface 2^ lieu des rayons de courbure.
§ III. — Équations des lignes et des surfaces déjà considérées.
Nous allons maintenant écrire les équations cartésiennes des surfaces et des lignes que nous venons de considérer. Si Ton se reporte aux équations cartésiennes de la courbe donnée^ qui ont été posées au n° 45, et qu'on adopte les notations et hypothèses de ce numéro, on obtiendra sans difficulté les équations dont il s'agit.
91. Équations de la tangente. — x, y, z étant les coordonnées du point de contact, et x\ y\ z* les coordonnées d'un point quelconque de cette tangente, x — od sera la projection sur l'axe des x de la distance de ces deux points; on aura donc les équations
^ ' dx djr dz
Plan normal. — Si x\ y, z' sont les coordonnées courantes, l'angle que fait la tangente avec la distance du point {x^jr^ z) à un point quelconque du plan sera un angle droit; on aura donc l'équation
(N) (^ — x')dx -+■(/ — j')dy -f- (z — 3')rfz = o.
Binormale. — Les cosinus des angles de la binormale avec les trois axes sont proportionnels aux binômes X, Y, Z (45}; les équations de la binormale seront donc, x', y, z* étant encore les coordonnées courantes,
GOUEBBS BT SURFACES RÉSULTANT DU MOUVEMENT o'UN TRIÈDRB. 1^5
Plan osculateur. — Si j/, y\ z' sont les coordonnées courantes, l'équation de ce plan sera
(0) S (j? — x') [dyd}z — dz d'x) = ^'
Normale principale. — Ses équations seront (46)
Plan rectifiant. — Son équation sera donc
ou bien, si l'on fait usage de l'équation du n® 47, qui donne
cos(p, jr),
(R') S{x — x')(Ydz-'Zdx)-=o.
Coordonnées du centre de courbure. — Soient a, |3, y les coordonnées du centre de courbure; on aura, en faisant usage des équations [i i'] du n"" 46,
d /dx\ d I dy\ d I dz^ ^
ds
ld£\ £ dr\ d(dz\ \ds) ds\ds) ds\ds)
Axe polaire. — Cet axe est la droite menée par le centre de courbure perpendiculairement au plan osculateur; il a donc pour équations, x', y\ z' étant les coordonnées courantes,
,d(dx\ , ,àldr\
