II. — - CHlPttKB T

Solution géométrique. — Équations relatives à l'arc. — La courbe dont il s'agit est l'iniersection des surfaces 2f et S,. Soient (^^.i4)

Fie- >i.

OH la dislance du point 0 pris sur la courbe à la génératrice

HP de la surface S^, disunce représentée par p; 0' H' la distance iniinimeni voisine ; OO l'élément ds de la (COurbe;

UH' l'élément </s, de la ligne d'intersection des surfaces £,, S,.

Si l'on projette le périmètre du quadrilatère OC^MM' successivement sur les directions Ot, Ov, Op; si l'on remarque que les directions de PH, P'H' sont celles de Ov, Ov* dans la Qgure sphérique (7] {50), que par suite Or est perpendiculaire au plan des deux génératrices, et que les angles (p, dt), (v, ds) sont droits, on aura les équations suivantes :

i dt,Cf>s{z, ds,)~ds~- pds, (*,) I ds,cos{p,ds,j = dp,

\ ds, cos(v, ds,] =; — pdio.

D'après ce que nous venons de dire, la direction Ot est perpendiculaire sur ds,; donc cos(z, ds,] est nul. Le second membre de la première équation est donc nul; donc les

DBS GOURBBS TRACÉES SUR LA SURFÀGB POLÂIRB. l49

angles (v, (/fi ), —(p^dsi) sont complémentaires Tun deTautre; on a donc les équations suivantes :

ds P=de.'

[stY ^ tang(p,rf5,)= -^ =r — cotfv, rff.j,

d<ù ds] =z p^ d(ù^ -h dp\

qui se déduisent des équations précédentes, la deuxième par la division des deux dernières (5,) et'la troisième en faisant la somme des carrés de ces mêmes équations.

La première des équations («.y prouve que la distance OM d'un point de la courbe à l'axe polaire est le rayon de courbure, ce que nous savions déjà; la deuxième donne la direction de l'élément dsi par rapport à deux droites rectangulaires menées par le point M, parallèlement à Op et à Ov; la troisième fait connaître la différentielle de cet arc.