Angle de contingence. — Soient [fig* i
Of'W une troisième position de p;
M'' P' la position correspondante de la génératrice de la surface polaire; M'6 le prolongement de MM' ; M'c sa projection sur le plan tangent à la surface.
L'angle blA'V est extérieur au triangle MM'P; donc il a pour
valeur
TT H- rfw — (v, dsx).
Or M' 6, M'c, M'a forment un trièdre rectangle suivant M'o; de ce trièdre on connaît les deux faces qui comprennent le dièdre droit. £n effet, l'angle cM'fr est égal au produit de l'angle dt des deux plans tangents à la surface polaire par le sinus de l'angle (v, dst); Tangie àW c est la différence des deux angles aM'P', cM'F. Le premier ne diffère de l'angle 6M'P' que par les infiniment petits d'ordre supérieur, et le second est égal à tt — (v, rf*,) — rf(v, rf*,); l'angle aM'fc est
l5o LIVRB 1. -- SECTION II. — GHAPITEB Y.
l'angle de contingence det de la courbe dsi. Si Ton considère le triangle sphérique infinitésimal bac, formé sur la sphère, dont le centre est en M^ Tare ba est la direction du rayon de courbure pi de la courbe dsi. Or cette dernière direction sera connue si l'on connatt l'angle que l'arc ab fait avec sa projection ca sur le plan tangent, et, de plus, l'angle que cette projection fait avec la génératrice M' F, c'est-à-dire avec la direction Ov. Cela posé, on a
baz=zdzx, 6c=r rf6Sin(v, rf*t), ca=: — don — d{v, rf*,}, angle {bac) = {z, p.) =:(v,,t);
donc la résolution du triangle bac donne les relations suivantes ;
/ . , , d(ù -+-d(v, dsA . .
i sin(T, p.) = ^^ ^ = cos(v., t),
|cos(t, p,)=— ~dt~ =— sin(v,,t),
desquelles on déduit les deux suivantes :
Idz\ — rfe'sin*(v, d$^) -h [rfw -f-rf(v, rfs,)]*, , . d(ù -h d{v, dsx) ^. ,
tang(7>Pi)— -j — . / , V — "~cot(T, V.). ^^ '^ ' aesin(v, a*,) ^ '
Ces formules font donc connaître l'angle de contingence dti et sa direction par rapport aux directions t., v., p..
95. Angle de flexion. — Par le point M [fig> i5) menons la normale principale Mpi de la courbe dsx, la binormale Mvi et ta parallèle Mv\ à la binormale infiniment voisine, ainsi que deux parallèles Mt, Mt' aux deux directions infiniment voisines de la tangente à la courbe ds\ les quatre droites Mp., Mvi, HV|, Mt sont dans un même plan, puisqu'elles sont toutes perpendiculaires à l'élément MM'; on a donc la relation
V,v', =r v', t'— ViT-{- (t, T')COS{T'rVi).
DBS COURBES TftAGÉBS SUR LA SURFACE POLAIRE. l5l
Or, si Ton remarque que Ov est perpendiculaire au plan tMt' et que l'élément dsi est perpendiculaire au plan v.Mv,,
Fig. i5.
le dièdre r'rk est égal à l'angle (v„ ds^), et l'équation précédente devient, en représentant par dcùi l'angle de flexion de ds,,
doit = rf(v,, r) — rfecos(v, rf*, ),
que l'on peut écrire aussi sous la forme suivante, parce que les angles — (v,, r), (pi, r) sont complémentaires :
(wi) rfwi =— </(pi, r) ~rfecos(v, rf5,).
Dans le second membre de cette équation il n'y a rien d'inconnu, parce que l'angle (t, pi) esl donné parla deuxième des équations (e,/, et l'angle (v, ^5,) par la deuxième des équations (5,)'.
96. Rayon de première courbure. — Si l'on divise la première des équations (ei)' par la dernière des équations [sy)' et
qu'on représente -^ > ^ par p', p", on aura la courbure de
la courbe ds^. Or, si l'on remarque que l'on a les deux relations
sin'(v.A.) = ^,. rf(v.rf..) = ^^p.rf(^,)
l52 LIVRE I. — SECTION II. — CHAPITRE V.
les équalions(e,)' donnent les deux suivantes :
.pVJ
tang(r.
Si Ton prend d(ù pour différentielle constante, la première formule montre que le rayon de courbure de la courbe dst est donné en fonction explicite (des rayons de première et de deuxième courbure de la courbe ds et des dérivées première et seconde de p par rapport à dcù, et la seconde que la direction de ce rayon dépend des mêmes quantités.
Si Ton pose -, = Uy les équations précédentes deviennent
du
tang(T, p.) r=
Les équations (pi) peuvent s'écrire sous la forme sui- . vante :
et, si Ton représente par =r la courbure de la courbe ds développée sur le plan tangent à la surface polaire, on a
vRsin'(v, dsx)
tang(T,p.)=:
BBS COURBES TRACÉES SUR LA SURFACE POLAIRE. l5S
97. Rayon de deuxième courbure. — Si l'on divise les deux membres de l'équation (a).) par (/s,, on aura» en représentant part'ile rayon de deuxième courbure de la courbe cb|, et en ayant égard à la secopde des équations (pi), les deux relations
dtù v's'»
d(ù I vo'
lesquelles montrent que le rayon de deuxième courbure de la courbe dsi est une fonction explicite des rayons de première et de deuxième courbure de la courbe donnée, des dérivées première, seconde et troisième de p par rapport à J&>, et de la dérivée première de v par rapport à la même variable.
P pressions prendront la forme suivante :
Si l'on pose ^ == m, comme précédemment, ces deux ex-
£ 1 r rf(T. pi) t. 1 ^
rf(T, p.) p'^«' rf I d(ù I
i-' . / . du\
98. Solution analytique. — Soient a:,, j„ z, les coordon nées du centre de courbure; on a les équations
Xi — X:=p COS (p, X). ( 3 )
l54 LIVBB I. — 8BCTI0N H. — GBAPITIIE T.
Les différentielles de ces équations donnent les trois relations suivantes (54) :
cos(T,,a:) = ^cos(p,jr)— ^COs(v,x); (3)
de ces équations on déduit les suivantes, en y représentant le supplément de l'angle (ti, v) par h :
COS{ti,T) = 0,
COS(Ti,v)=: • =^~C0SA,
cos(ti,p)= - •■ rn sinA.
Nota» — T est perpendiculaire au plan tangent de la surface polaire; (pi,t) est Tangle du rayon de courbure avec la normale à cette surface : c'est le complément de l'angle négatif du plan osculateur de la courbe dsx avec le plan tangent (94).
Si l'on différentie chacun de ces trois cosinus, en s'appuyant sur le principe de la courbure inclinée (49), on trouve
rfeiCos(pi, t) -t-rfecos(p, Ti) = o,
rfCOS(Ti, v) = rfCiCOS(pi, v)-4- rfwCOS(p, Ti), rfC0S(Ti,p) =ûfeiCOS(p, p,)-4- rf» COS(A, Ti).
Si l'on a égard aux valeurs fournfes par les équations (c), on obtient les relations suivantes:
dt\ = sin' A de -f- {dh — rfw )», cos(p„ t) = — sinA -^»
[cy '^cos(p„v)— smA — -, >
dh — rfw
cos(pi, p)— cosA
Or, si l'on remarque que la direction Ovi est perpendiculaire aux deux directions Oti, Opi, dont les cosinus des angles
DES G0URBB8 TRACÉES SUR LA SURFACE POLAIRE. l55
avec les trois axes Or, Op, Ov sont connus, on obtiendra sans difBculté les formules suivantes :
, , dh — rfû)
cos(v„ t)= — ^ ,
de
(c)" \ cos(v,, v) =sin'A-7-9
cos(v,, p)= cosAsinA ^•
Les seconds membres ont présenté une ambiguïté de signes qui a disparu par Tapplication des convenlions posées au n* 50. Si Ton introduit l'angle auxiliaire — <p, complémentaire de l'angle (pi, r), on voit que <p est l'angle (vit) du plan osculateur et du plan tangent, et l'on a
s'inhde
Enfin, si l'on différentie cos(y,,T), on aura la relation
— sin(v„T)rf(v.,T)=::(v.,v',)cos(p„T)-+-(T,r')cos(v„p);
or les équations (c), {c)\ (cy donnent immédiatement l'égalité
cos(vi, p) = cos(pi, t) cos(ri, v).
En ayant égard à cette relation, l'équation différentielle précé* dente devient
rf(v.,r) = (v.,v',)4-(T,T')cos(T„v).
D'après cela, toute l'économie géométrique de la courbe est donnée par les équations suivantes :
(i) rfsiCOsA — prfw=:o,
(2) dsiSinh — dp = o,
(y) { (3) dstcoscp — rfA -f- (/&) = o,
(4) rfcisinç — rfesinA = o,
(5) dû>, — - rf<p — rfecosA = o.
En faisant usage de ces formules, on retombera sur celles que nous avons trouvées par la Géométrie, et l'on remarquera que, dans l'un ou l'autre^cas, le premier effet d'une vraie mé-
l56 LIYRB I. — SECTION II. — CHAPITRB T.
ihode est de débarrasser la question de tout système coordonné, pour ne mettre en relief que les éléments des courbes.
§ II. — Applications.
