Problème I. — Étant donné le rapport spécifique an

gulaire --^ =r ^j^, (e,) du lieu des centres de courbure Ci d'une

courbe C et l'angle 9 que le plan osculateur de la courbe Ci fait avec le plan tangent correspondant de la surface polaire^ déterminer les équations naturelles des deux courbes C 6/ Ci, ainsi que les éléments de ces deux courbes.

D'après les données de la question, on a les deux équations

si Ton se reporte aux équations (y) du numéro précédent et qu'on divise Téquation (5) par l'équation (4)i on obtient la relation

sin[7r,(€,)j

laquelle fait connaître Tangle A. D'après cela, l'équation (4) donne après intégration, u étant une constante arbitraire,

(3') e-c,= ri|l^rfe..

^ J Sixïh

L'équation (3) donne de même, en représentant par &i« la constante arbitraire et en écrivant abréviativement les symboles fonctionnels,

cot= . ,~"r\n — /^'êi COsTîTilei)]sin[7r,(ei)] j '^ l v /j

Si l'on combine les équations (1) et (2) et qu'on élimine d(a du résultat au moyen de l'équation (3), on obtient l'équation différentielle

dp s\r\ h dh , j

^ — tangAcosQae,,

0 cosA D T

DBS GOURBIS TRACfiEÇ SUR LA SURFAGB POLAIRE. l57

dont Tintégrale, en représentant par pt la constante arbitraire, prend la forme

(5') pcosAr=p,c«»/<-'}'^'"\

ds Ondéduity en remplaçant p par ^) l'équation suivante :

(1i Sm© ;/-, h-dt,

-T- =1 2p, — - ' eV ^, -4-1 ;

rfe, ^ smaA

or cette équation dépend seulemeni des quadratures, et Ton obtient par intégration, et en représentant par j» la conslanie arbitraire, l'équation suivante :

(6') 5-#o-=2po/rf£.4^rev<-*; '/.

Les différentielles des équations (3'), (4') et (6') sont les trois équations élémentaires de la courbe C, et les équations (3'], (4')> (5'), (6') donnent tous les éléments de cette courbe, son rayon de courbure, son rayon de flexion et déplus la rectification de la courbe.

Nous avons déjà une équation élémentaire de la courbe Ci, qui est la première des équations (i^; pour obtenir l'autre équation élémentaire, on fera usage de l'équation (i) du n'^QS, qui donne

(7') ds,= -gf-^irfarccot= .'^'V"^,''\. — cos[7r.(e0] rfg. i g'-^^^''*'; ^' ' cos'A( sm[7r,(£,)J l v j j

on a donc aussi en fonction d'une seule variable tous les éléments et les deux équations naturelles de la courbe Ci, ce qui donne la solution complète du problème.

100. Cas particulier. — Supposons que l'angle <p du plan osculateur de la courbe Ci avec la surface polaire de la courbe C soit constant.

La formule (2') devient

(a") tangyi=-^,

l58 LIVRB I. 7~ SECTION II. — GBAPlTRB T.

de laquelle on déduit les deux relations

sinA = ^-^^1 cos A = -:=r-lA

les équations (3') et (4' ) deviennent

(3") e-e^=/rfe.\/f.'-^sin»(p,

, *„. sino

(4 ) w--a)«=: — El cosç -i-arctang= -tt^\

les équations (5') et (6') prennent la forme plus simple

Enfin réquation (7') devient

a*» = ^ ^A dtxTC tang = —^ — coscp de, 1 e « ./ f . cos'A\ ° 4^1 /

101. Problème II. — Étant donné le rapport spécifique angulaire d'une courbe C, et V angle que la tangente à la ligne lieu des centres de courbure fait avec la normale principale de la courbe C, au point correspondant, déterminer les équations naturelles des deux courbes Q et Ci.

Les données de la question sont

(i') ~r- = 4' (e)> cos(t,, p) = sinA= sin[cj(£)].

En combinant les équations (3) et (4) du n"" 98> par voie de division» on trouve

^ * ^ sin[cj(e)J '

d'après cela» l'équation (4) donne

(3') dt,= £fev^sinHcj(£)]-f- \xsi - v^'j'.

DBS COURBES TRACÉES SUR LÀ SURFACE POLAIRE. iSg

et de même Téquation (5) donne

# /#v j j sinrz«j(e)] r / \t j

(4') rf», = rfarciang= — / ,> -Hcos[CT(6)]rfe.

B*unc autre part, les équations (i) et ( 2 ) du n^ 98 donnent, par voie de division, la relation suivante. :

-^ = vp'(e)rfeiang[Gj{e)],

dont l'intégrale, en représentant par p« la constante arbitraire, est

or, si Ton remplace dans cette équation p par sa valeur -7-» on aura

{6') ds = p. rfe e/Vrf'U«,[-(.)],

Enfin, si Ton portoila valeur de p dans la première équation (i) du n° 98, on aura l'équation

^' cos[iîj{ejJ

Les équations (3'), (4'), ( Y) sont les équations élémentaires de la courbe Ci lieu des centres de courbure de la courbe C; la première des équations (i') et l'équation (6') sont les équa* tions élémentaires de la courbe C, et comme, dans toutes ces équations, les variables sont séparées, on obtiendra par de simples quadratures tous!les éléments des deux courbes C et Ci, tels que rayons de première et de deuxième courbure, rectifications des deux courbes et positions relatives des arêtes des trièdres des angles mobiles de ces deux courbes.

L'examen du cas où l'angle h est constant donne lieu à des simplifications analogues à celles que nous avons trouvées dans le cas précédent.

102. Problème IlL — Une courbe C et la courbe Ci, lieu des centres de courbure de la première, sont telles que l'angle

l6o LIVRE I. — SECTION II. — CHAPITRE Y.

que la tangente à la courbe Ci fait avec la normale principale de la courbe C varie d'après une loi donnée , et que l* inclinaison du plan osculateur de la courbe d sur le plan tangent correspondant de la surface polaire de la courbe C varie aussi d'après une loi donnée : déterminer les deux courbes C e^ Ci.

i^ Supposons que A et 9 soient des fonctions de ei déterminées paries deux équations

(i') /i = ci,{e,), 9 = 7r,(ei);

l'équation (4) du n** 98 donne

, ,, de sinfTT.fe,)]

dîi sin[cj,(e,)]

et l'équation (3) donne

(3') rfû) = rfTîj,(€,) — rfg, cos[7r,(6,)];

or les équations (i) et (2), combinées par voie de division, donnent y quand on a égard à l'équation (3^), la relation suivante :

— = tang [g7, ( e, ) j rfcj, ( 6, ) -- rfe, cos [tt, ( £• )] j .

Cette dernière étant intégrée donne, en représentant par pt la constante arbitraire, la forme suivante :

fi') p == J^ =.e-/«>»[»i(S)]t»"«[»t(S)]A.,

^^^ ^ cos[Tîj.(e.j]

ds et, en y remplaçant p par sa valeur -r*? et en éliminant dt au

moyen de l'équation (2'), on obtient Téquation

41 ^ 2p^Sin[7r^)] ^/.o.[..(..)]t.n,KCS)J^. .

aei sin[2cy,(ei)]

Les équations (2'), (3') et (5') sont les équations élémentaires de la courbe C, et, comme elles donnent par de simples quadratures les éléments de cette courbe, Jout ce qui intéresse la courbe C est déterminé.

Passons maintenant à la détermination de la courbe C. La

DES COURBES TRAOfiBS SUR LA SURFACE POLAIKR. l6l

dernière des équations {y) du n** 98» combinée avec l'cqualion (2'), donne la relation

(6') rfû), = rf7r,(e,) H- cot[ro,(6i)]sin[7:,(e,)]Je„

qui est Téquation naturelle sphérique de la courbe C,. L'équation (i) du n'' 98 donne la relation

(-/ ) ds, = J' , ni^gy«(g' ) - dZi cos[7:,(e,)]| e-/^'.'«*f'^i(s)^«"«t-.C'.>J,

C0S*[gj,(£,)J < * ' L V /j)

qui est l'équation élémentaire de la courbe C..

a"* Supposons maintenant que h et f $ont des fonctions de t, de telle sorte que Ton ait

L'équation (4) du n*" 98 donne la relation

rfe. sin[gy(£)J ^^ rfe ~ sin[7r(6)]*

L'équation (3) donne la relation

(3") rfw = rfGj(e)--cot[7r(e)]sin[cT(e)]rf£.

Les équations (i) et (2) du n" 98, combinées avec cette dernière, donnent

-f = tang[w(e)] } ete(6) — cot[7r(£)] sin[!ST(e)]rf6 J , dont l'intégrale est

et, en remplaçant p par sa valeur ^9 on obtient l'équation sul-

±= eî^.-/

dt COS [?&(£)]

Si maintenant on fait usage de l'équation (5) du n" 98, on trouve

(6'') rfû), = rf7r(€)4-rfecos[cT(E)];

iSl LIVBB K — RBGTION li. — CHAPITKB T.

et l'équation (i)du même numéro donnera

7') d'^=-^^^f^\àn,(€)-coiiK{t)-]sm[Mt)]dz\e J -'-w •"■

Les équations (7''), (2"), (6*) sont les équations élémentaires de la courbe Ct» exprimées en fonction de Ja variable indépendante e, et les équations (5") et (3*') les équations élémentaires de la courbe C, réduites à deux à cause de la variable indépendante e, qui est un des trois éléments de cette • courbe.

Il résulte de cette double analyse que» dans les deux cas^ le problème est entièrement résolu et que^tous les éléments des deux courbes ne dépendent que de simples quadratures.

103. Cas particulier. — Supposons que les deux angles h et (p sont constants; les équations (5) et (4) du n"* 98 donnent réquation résultante

(6**) -7-' = sin9C0tA;

réquation (3'') devient

(3*^) -j-rrr — COtCpSmA.

Ces équations prouvent que les courbes C et Ci appartiennent l'une et l'autre à la classe des hélices, puisque les deux rapports spécifiques angulaires de cescourbes sont constants.

D'une autre part, on déduit les deux équations linéaires élémentaires suivantes des deux courbes :

de,- P'coiA^ ' dl~^'^

lesquelles prouvent que chacune de ces courbes est une spirale conique.

Ces conclusions sont évidentes et auraient pu être établies directement par des considérations géométriques, comme conséquences des données du problème.

La détermination des éléments des deux courbes ne pré-

DBS GOURBBS THACftBS BUB LA BUBFAGB POLAIBB. l63

sente d'ailleurs aucune difficullé: il en est de même de leur rectification.

104. Pboblème IV. — Déterminer une courbe C par la condition que la tangente au lieu d de ses centres de courbure forme avec la normale principale de la courbe C un angle variant d'après une loi donnée ^ et que le rapport spécifique angulaire de la courbe Ci soit aussi donné*

On a les deux équations

(i) d(ùi — ^\(ït)dtt, A = iij,(£,).

Les équations (4) et (5) du n<» 98, combinées entre elles, donnent la relation suivante :

(2') j^-vj;',(£.)-hcot[cj,(6.)]sin(p = o,

qui est l'équation résolvante de la question; elle rentre dans la forme des équations résolvantes étudiées au n® 76 et donne lieu à des transformations semblables. Soit $(ei) ou simple* ment $ l'intégrale de cette équation : l'équation (4) donne la relation

.^,. dt sinr»(e.)1

dti ~" siii[TiJ,(e,)]'

etréquation (3) fournit la relation suivante :

^^'^ ^|=nT'.(e.)-cos[<J)(€.)].

desquelles on déduit, en représentant par £«, a)« deux con siantes arbitraires,

. J sin[cj(e,)j

(4'') w •— '^>«~ cy,(e,)— /cos[4>(€,)]rfe,.

Les équations (i) et (a) du n** 98 donnent Téquaiion résultante

(5') -?=:lang[ci.(6,)][Tn'.(£.)^/£.-~^os<I>^/£,];