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l64 LIVRE I. -- SECTION II. — GUAPITRK T.
l'intégration de cette équation donne, en représentant par p« la constante arbitraire,
^ ^ P-"cos[nj.(e.)]
et, en remplaçant p par sa valeur -^9 on trouve
dti sinsra,
Les équations (6'), (3'), (4') sont les trois équations élémentaires de la courbe C.
La première des équations (y) du n^" 98 donne
( 7' ) ^ = 7^ (^'. - cos<I>) «-/»•»»•. -*"«..
a&i COb CDi
qui est Téquation élémentaire plane de la courbe Ci, son équation élémentaire sphérique étant une des données de la question.
Si l'angle h est constant, les derniers calculs se simplifient, et Ton trouv.e, en posant tangA = /ii, les deux relations suivantes, 5o étant une nouvelle constante :
et conséquemment
sinA , .
^ cos'A '
La courbe C est donc, dans le cas de h constant, une spirale conique, c'est-à-dire une courbe coupant sous angle constant les génératrices d'un cône.
Une analyse tout à fait semblable permettra de résoudre la question suivante :
Problème V. — Déterminer une courbe C par la condi^ lion que son rapport spécifique angulaire soit une fonction donnée de e et que l'angle que le plan osculateur du lieu Ci des centres de courbure forme avec le plan langent de la sur-
DK8 COURBES TRACÉBB SUR LA 8URPAGB POLAIRE. l65
face polaire de la courbe C soit une fonction donnée de la même variable,
105. Problème VI. — Déterminer une courbe C par la con^ dition que l'angle de la tangente au lieu Ci de ses centres de courbe avec la normale principale de la courbe C soit constant, et que le rayon de courbure de la section normale à la surface polaire de C suivant cette tangente soit dans un rap^ port constant avec le rayon de flexion de la courbe Ci,
Les conditions du problème sont données par les deux équations, n étant une constante,
(i') A = const., rfw, = /isin9(/e,.
Les équations (4) et (5) du n** 98 donnent Téquaiion résultante
(a') 4^ = {n-'C0lh)dt,.'
^ sincï» '
Si Ton pose k égal k n-— coiA et qu'on représente par a une constante arbitraire» on trouve par intégration
(a") tang|ç = ac**t,
d'où l'on déduit
