é?*\ t — a^e^'i s»n? = r-;;^^ cos9;p= r-iir

L'équation (4) donne la relation

(3') aesin/inr

et l'équation (3) la relation

Ces deux équations s'intègrent, et Ton trouve, en représentant par £«, 0)0 deux constantes arbitraires,

[y) (e— 6«)sin/i=: T arc(lang = a^»i),

( 4") /»AOJ - CO,) z= lOg l—^J-1.

l66 UVAB 1. — SKCTION II. — CRAPITRB V.

Ces dernières peuvent s'écrire sous la forme suivante . (3*') a€*'. = tangr-(e-e,)sinAl,

L'élimination de £■ entre ces deux équations donne la relation

suivante :

sin/f[(e— £,)sin/i]=rr2e-'(— *'.\

qui est Téquation élémentaire sphérique en termes finis de la courbe C, exprimée par ses deux variables naturelles, et qui forme une classe intéressante de courbes.

£nfin les équations (i) et (a) du n^'OS donnent l'équation résultante

(5') ^ -? = lang//rfw.

Si l'on pose tangA égale à m et qu'on intègre, on trouvera l'équation suivante :

que l'on peut écrire sous la forme

Si maintenant on remplace p par sa valeur -r ) on trouve

' dix sinA

L'équation (a) du n"" 98 donne, en représentant par «(i) la constante d'intégration,

{7' ) [s, — 5(,)] si» A — p --- p.e— .

On a donc toute l'économie analytique des courbes C et Ci. Les équations (6'), (3'), (4'] sont les trois équations élémentaires de la courbe C en fonction de la variable e.. Les équations élémentaires de la courbe Ci, au nombre de deux, sont, d'une part, l'équation (7') et, d'autre part, la seconde des

DBS COURMS TRA€&£9 SUR Lk SURFACE POLAIRE. 167

équations (i'), dans laquelle on aura remplacé sinf par sa valeur en fonclion de e, et qui alors devient

(8') ^ = 2n(a-e-^ -+- aa**.)-.

«Cl

Si l'on compare la seconde équation (i') avecTéquation (4} du n"* 98, on obtient la relation

-T- = /ismyi, de

laquelle montre que l'angle de contingence de la courbe C et l'angle de flexion de la courbe Ci sont dans un rapport constant.

106. Prorlèhe VII. — La prentière condition du problème précédent étant conservée^ la seconde condition est que le rayon de courbure géodésique de la courbe C, par rapport à la surface polaire de la courbe C soit dans un rapport constant avec le rayon de flexion de la même courbe Ci : déterminer les deux courbes C e/Ci,

Les conditions du problème sont

(l') /l = COnSt., {/(k)|=r-, /iCOS(prf€i.

Les équations (4) et (5) du n'^OS donnent l'équation résultante

{2') rf(p = dtt[ncos(p — cotAsincp).

Si l'on pose, pour abréger, — -r — tanga et k*=z n^-^ cot' A, cette équation s^écrit sous la forme suivante :

' sin(o — a)

et si l'on représente par a une constante arbitraire, on tonibo sur l'intégrale

l68 LITRK I. — SECTION II. — CHAPlTftl V.

de laquelle on déduit les deux suivantes :

sin(9 — a)= ; — -j—f cos(o — a) =: ; — ;Tr •

De ces deux équations on tire

smœ^sina , — .- -f-cosa ; — -.--»

COS<P=: COSa ; nr- — Sma ' ;t-'

Si Ton porte ces valeurs dans l'équation (4 ) et dans l'équation (3) du n^ 98, on trouve les deux suivantes :

.^, dt sina i — «*e~''**i cosa 2ae'~**«

rrr»

(4') -— =::— cosa ; ;r- ■+- SlUa ;t-.

Si Ton se reporte au problème précédent, on voit que ces deux équations sont intégrables et, en représentant par eo et &>• deux constantes arbitraires, on trouve

/0//V I /r(eo — e)sinA = — sinalogi — '- -h ae-^A (3 ) < \a I

[ -¥- 2 cosa arc ( lang = a«-**i).

A (ûJo — w) = cosalogf — '- H-a-*'«j

2 sin aarc ( tang = flc-*'i).

On déduit de ces. deux équations les deux suivantes :

k aer^'i = tang- [(w,— &))sina + (e,— e)sinAcosa].

Si l'on élimine ei entre ces deux équations on trouve, réductions faites,

sinA'[(oi)« — (k))sina -h (£•— e) sin A cosa]

— 2éî~^t(**o -w) *^o»«--(c,— i) siu Asina]

DBS COURBES TRACÉKS SUR LA SURFACB POLAIRE. 169

qui est réquation élémentaire sphérique en termes finis de la courbe C, exprimée par ses deux variables naturelles et qui forme une généralisation de la classe de courbes que nous avons trouvée dans le problème précédent.

Les équations (i) et (2) du n^ 98 donnent Téqualion résultante

(5') -^ = iziïf^h d(ù.

Si l'on représente tangA par m et par p» une constante arbitraire, on trouve

et comme ay s'exprime en fonction de e. au moyen de l'équation (4^^), on pourra exprimer le rayon de courbure p explicitement au moyen de cette variable. On aura donc, en ayant

égard à Téquation (3'), -;- en fonction de c,.

On a donc ainsi les trois équations élémentaires de la

. ri . . , ds dt d(t>

courbe C, qui donneront les rapports y» ;7~' ;7" exprimes

explicitement en fonction de la variable ei.

D'une autre part, la seconde des équations (i'), lorsque l'on élimine 9, donne

et l'équation (2) du n"* 98 donnera, comme au numéro précédenty l'équation

( 7' ) 1*1 — ■»(!)] sin A = p. e— ,

de sorte que, si l'on porte dans cette dernière la valeur de (o tirée de l'équation (4^) du présent numéro, on a les deux équations (7') et (8'), qui sont les équations élémentaires de la courbe Cl.

Si l'on compare l'équation ( 3) du n" 98 avec la seconde des équations (i'), on obtient la relation suivante :

rfo), = — ndoi,