LIVRE 1. — SECTION 11. — CHAPITRE V

laquelle prouve que les angles de flexion des deux courbes C et Cl sont proportionnels.

107. Problème VIII. — Trouver la courbe C dont le lieu Ci des centres de courbure est une courbe donnée par ses équa^ tions cartésiennes.

Ce problème difflcile a été posé et traité [Journal de Liouville, t. XVIII) par M. Serrel qui, au moyen d'une analyse trèsélégante, est arrivé à l'équalion résolvante du troisième ordre dont l'intégration est nécessaire pour obtenir, sans nouvelle intégration, les coordonnées du point de la courbe C; nous abordons avec plaisir le même problème, afin de montrer que notre système d'équations naturelles (y) du n® 98 conduit directement à une équation résolvante du troisième ordre distincte, et que les coordonnées du point de la courbe C s'obtiennent aussi sans autre intégration que celle de l'équation résolvante.

Les coordonnées de la courbe Ci sont ^1, /i, 2|, connues en fonction d'une variable que je suppose être la variable e.; d'après cela, on connaît les deux équations naturelles de la courbe Ci,

Le système des deux équations (i) et (3) du n^ 98 donne l'équation résultante

/(£,)COlA

dh

•j cos 9

dii ^

et le système des équations (4) et (5) donne l'équation

sincD

(3') langA —

Si Ton élimine p entre l'équation (2') et l'équation (2) du n® 98, on trouve la relation