DBS GOUHBBS TRACÉES SUR LA SURFACE POLAIRE. I7J

Les deux équations simultanées (3') et (4') entre les deux variables cp et A font connaître l'une ou l'autre de ces variables; si l'on élimine h entre ces deux équations, on trouve, en

portant les valeurs de sinA, cosA et de -7- tirées de la première dans la seconde et en écrivant abréviativement les symboles fonctionnels, l'équation suivante :

/ /sîncp

qui est l'équation résolvante du troisième ordre dont l'intégrale fait connaître l'angle (p du plan osculateur de la courbe donnée Ci avec le plan tangent à la surface polaire de la courbe C. Soit $ l'intégrale de cette équation, l'équation (3) fera connaître A, complément de l'angle de la tangente de la courbe Ci avec la normale principale de la courbe C; l'équation (2') fera connaître le rayon de courbure en fonction de £1; les équations (c), (c'), (c") du n° 98 donneront en fonction de la même variable les angles que chacune des arêtes du trièdre mobile Oti v, pi, relatif à la courbe Ci, font avec chacune des arêtes du trièdre mobile ÛTvp. Or on a

cos(p, x)— cos{p, T, ) cos(t„ x) h- cos(p, V, ) cos{v„ x) )

-4-cos(p, p,)cos(p,,:r), j

et, comme les équations de la courbe C| font connaître les angles que la tangente Ti, la binormale Vi et la normale principale Pi font avec les trois axes, il en résulte que l'on connaît cos(p, x) en fonction de £1 ; on a donc les trois équations de la courbe C

X — x^ y— Y* z— Zi

cos(p,d;) COSilp,^; cos^p, 3)

17^ LITRB I. — SBGTIOIf II. — CBAPITRB T.

dans lesquelles tout est exprimé en fonction de la variable indépendante ei*

108. Remarques sur les problèmes précédents. — Supposons que, dans le dernier problème que nous venons de résoudre, la courbe Ct n'eût été connue que par ses équations naturelies (i), nous serions arrivé par le même calcul à notre équation résolvante ( 3), et nous aurions déterminé tout ce qui regarde les éléments des deux courbes, ainsi que les positions relatives des éléments de ces deux courbes, par la même analyse, puisque les équations (y), (c), (c)\ (c)" du n*» 98 sont Indépendantes des coordonnées du point de chacune des deux courbes; et même le premier effet du calcul, lorsque les coordonnées du point de la courbe Ci sont connues, est de débarrasser la question de ces auxiliaires parasites, pour ne la faire dépendre que des éléments des deux courbes, quelle que soit d'ailleurs la marche que Ton suive pour obtenir l'équation résolvante. C'est le fait qui s'est présenté dans tous les problèmes que nous venons de traiter : aucune des coordonnées du point n'est entrée dans nos calculs, et nous avons déterminé sans difflculié la forme des deux courbes et leurs positions relatives, par suite des équations (c), (c/, {cf du n«98.

Si, outre la forme des courbes, on avait voulu avoir leurs positions absolues dans l'espace, il aurait fallu faire la détermination des angles que la tangente, la binormale et la normale principale font avec trois axes fixes, ce qui aurait exigé la solution de la question que nous avons traitée dans le Chapitre III, laquelle dépend de l'intégration d'une équation linéaire du second ordre, et ensuite on aurait déterminé les coordonnées du point par de simples quadratures.

Mais le fait qu'il ne faut point négliger, et dont la démonstration découle de toute cette analyse, est que, deux courbes C et Cl se trouvant associées entre elles, il n'est nécessaire de faire la détermination des coordonnées du point que pour l'une des deux courbes, la connaissance des coordonnées du point correspondant de l'autre courbe s'obtenant sans intégrations nouvelles.