DBS GOORBBS TA4GÉR9 SUR LA SURFACE POLAIRE. I
Ainsi, en résumant, la question vous donne-t-elle les coordonnées d'une courbe, les coordonnées de l'autre courbe s'obtiendront sans autres intégrations que celles qui sont nécessaires pour passer des éléments d'une courbe a l'autre d'après celui des problèmes traités. La question vous donnet-elle seulement les éléments de Tune des deux courbes ou généralement deux conditions élémentaires, il faut, outre les intégrations précédentes, aborder, pour l'une des deux courbes seulement, le passage des équations élémentaires de cette courbe aux coordonnées du point.
Ces propositions forment autant de théorèmes d'une grande importance qui doivent guider constamment l'analyste et l'avertir d'éviter toute intégration inutile. C'est même sur ces considérations qu'est foncièrement fondée la méthode abréviative d'intégration des équations d'une certaine espèce sur lesquelles plusieurs géomètres ont fait des calculs ingénieux et d'une haute généralité.
§ III. — Arête de rbbroussemert.
109. jCaractéristique sphérique. — Si l'on se reporte au n^ 81, on voit que la tangente, la binormale et la normale principale de l'arête de rebroussement de la surface polaire sont parallèles à la binormale, à la tangente, à la normale principale de la courbe gauche donnée chacune à chacune; de là résulte cette proposition :
Les caractéristiques sphériques de la courbe proposée et de l'arête de rebroussement de la surface polaire sont deux courbes sphériques polaires l'une d^ l'autre.
Ce théorème montre que, lorsque l'une des deux courbes est donnée, l'autre est aussi connue.
Différentielles premières. — Soient da la différentielle (Jig. i4) de l'arc de l'arête de rebroussepient de la surface S,; L et D les distances d'un point P de cette courbe au point correspondant Ode la courbe donnée et à son centre de courbure H; P', 0', M' les positions infiniment voisines de ces
1^4 UVRK I. — SECTION II. — CHAPITRI Y.
ipois poinis. Si Ton projette le périmètre du triangle MM'P sur les deux directions Ov, Op rectangulaires, on obtiendra, en ayant égard aux équations («, ), les relations suivantes :
(dd) — -rfo-^rfL -f-prfo), Ldu=dp;
on déduit de ces deux équations la formule suivante :
qui fait connaître la différentielle de l'arc de courbe^.
110. Angles de contingence et de flexion. — Si Ton repré sente ces deux angles par c/eC)» d(ù^^\ on a les relations sui vantes :
(i) dt^')^d(ùy d(à('^=Lde.
Il résulte du théorème énoncé plus haut la. proposition suivante, due à Fourier :
L* angle de contingence de la courbe est égal à l * angle de flexion de l'arête de rebroussement et l'angle de flexion de la courbe est égal à l'angle de contingence de V arête.
Relation entre les rayons de première et de deuxième courbure de deux courbes. — Représentons par p<'J et vO les rayons de courbure et de flexion de Tarète de rebroussement; di* visons les deux équations précédentes l'une par l'autre et introduisons les rayons de première et de deuxième courbure des deux courbes; on obtient la relation suivante :
d*oii Ton tire la proposition suivante :
Les rayons de courbure et de flexion de la courbe et de rareté de rebroussement sont inversement proportionnels.
Rayon de première courbure. — Si Ton divise par don les deux membres de Tequation (rfo-)', on aura l'équation
DES GOORIBS THACfiES SUR LA SURFACE POLAIRE. 17^'
qui donne le rayon de première courbure de Tarête exprimé linéairement en fonction du rayon de première courbure de la courbe donnée et de sa dérivée deuxième par rapport à d(ù.
Rayon de deuxième courbure. — Si Ton combine les deux équations précédentes, on obtient la relation
qui fait connaître le rayon de deuxième courbure de l'arête.
Coordonnées d'un point quelconque. — Soient ^<'^ jri^\ z(^^ les coordonnées d'un point quelconque de l'arête de rebroussement. Si l'on projette successivement sur les trois axes coordonnés le périmètre du triangle dont les côtés sont D, p, L, on obtient les trois équations contenues dans le type suivant :
(orC)) j7(0 — ^ = pcos(p, x) — ^ cos(v, j;). (3)
Ces coordonnées font connaître la position du point en fonction d'une seule variable.
111. Sphère osculatrice; centre de la sphère, — La sphère osculatrice en un point d'une courbe est celle qui passe par quatre points infiniment voisins a, b, c, d de cette courbe. Il résulte de cette définition que le centre de celte sphère est situé sur l'arête de rebroussement de la surface polaire. En effet, l'axe polaire d'une courbe est le lieu des points qui sont à égale distance de trois points a, b^ c infiniment voisins de cette courbe (90); or, comme deux axes infiniment voisins se rencontrent sur l'arête de rebroussement de la surface polaire et que le second axe est à égaie distance des trois points infiniment voisins 6, c, d, il en résulte que le point d'intersection de ces deux axes est à égale distance des quatre points infiniment voisins a, 6, c, d de la courbe, et, par conséquent, le centre d'une sphère qui passe par ces quatre points. Les équations (ar('>) sont donc les équations des coordonnées du centre de la sphère osculatrice.
Rayon de la sphère. — Le rayon de la sphère est donc la distance D d'un point de la courbe donnée au point correspon-
176 UYRK I. — 8KGTI0M II. — GHAPITRK V.
danl de Tarêle de rebroussemenl. Pour déterminer ce rayon et sa direciion, on a les trois équations suivantes :
Dcos(D, a:)=:«pcos(p, a:) j2-cos(v, x);
de ces équations on déduit l'expression dti rayon D
Direction du rayon, — Des équations précédentes on déduit les cosinus des angles que le rayon D fait avec les trois axes Or, Op, Ov
(a) cos(D,t) = o, cos(D,p) = ^5 cos(D,v) = —
Ddoy
La première expression montre, ce que nous savions déjà, que {Jig. 16) le rayon OP de la sphère osculatrice est dans le
Fîg. 16.
plan OMP perpendiculaire à la tangente à la courbe, et les deux dernières montrent que ce rayon est tel que la médiane MI du triangle OMP est perpendiculaire à la tangente MM^ du lieu des centres de courbure de la courbe, puisque, si Ton compare aux formules (a) les formules («1), n* 93, on trouve
cos(v, rf5,) = — •cos(D, p), cos(p, rf*,) = — cos(D,v).
Cette relation remarquable permet de construire le rayon de la sphère osculatrice quand on connaît la tangente du lieu des centres de courbure, et réciproquement. Il résulte de là
DBS COUEBKS TRACtBS SUR LA SURFACE POLAIRB. 177
que, si Ton projette le rayon D de la sphère osculatrice sur la tangente, et le rayon p de courbure sur cette même tangenle, la première projection est le double de la seconde. On peut aussi énoncer la proposition suivante :
Le rayon de courbure forme avec la tangente, au lieu des centres de courbure^ le même angle que le rayon de la sphère osculatrice forme avec la tangente à l* arête de rebroussement .
Différentielle du rayon de la sphère osculatrice. — Si Ton différenlie l'expression (D/, on trouve, en ayant égard aux formules [p(*>] et (a),
112. Angle de deux rayons de la sphère osculatrice infini^ ment voisins. — D'un même point 0 menons deux parall€|les à deux rayons infiniment voisins D* D' de la sphère osculatrice, et soit a l'arc de cercle d'un rayon égal à l'unité qui mesure cet angle (D, D'). Si l'on différentie les trois équations (a) en s'appuyant sur le principe des courbures inclinées, on a les trois équations
(D,D')cos{a,T)-~£^, {a}' JiD,D')cos(a,p) = -gÇ,
(D,D')COS(a,v)r::::~^rfa,,
desquelles on déduit la relation suivante :
ainsi que les cosinus que la direction de l'arc a fait avec les axes mobiles Or, Ov, Op.
Si l'on s'appuie sur ce théorème que la somme des carrés des cosinus d'une direction avec trois axes rectangulaires égale l'unité, on obtient les trois nouvelles équations qui donnent les angles que la normale n à deux directions inii-
178 LIVRE 1. — SBCTION 11. — CHAPITRE T.
niment voisines de D fait avec les trois axes mobiles. Ces équations sont
On déduit de la comparaison des équations (a) et (a)' les relations suivantes :
de
COS(fl, r)=:— rjg-jjry COS(D, p),
rfD cos(D.p)
cos(a, p) = —
cos(a, v) = —
(1),D') 1) cos»(D,p)rfD
D(D,D' )cos(D,v) et de la comparaison des équations (a), (a)', (a)" les relations
, , cos(a,v)
COS(/l,T — TîT— ;'
cos (D,p)
cos{n, v) -^ cos(D, p) cos(a, 7), cos(n,p)= cos(D, v)cos(a,T).
Les formules établies dans le numéro présent et celui qui précède donnent tous les éléments de la courbe sphérique obtenue sur la surface d'une sphère immobile par la série des layons parallèles aux rayons de la sphère osculatrice.
§ IV. — Applications.
113. Problème IX. — Trouver les conditions pour que le lieu des centres de courbure Ci de la courbe C et le lieu Ci des centres des sphères osculatrices se confondent,
La condition nécessaire et suffisante pour que ces deux lieux se confondent en une seule et même courbe est que la
