DES COURBES TRAGÉBS SUR LA SURFACE POLAIRE

dislance L de deux poinis correspondants de ces deux courbes soit nulle; or, d'après les équations {da) du n** 109, on a

par conséquent, on doit avoir p — const. Ainsi le rayon de courbure de la courbe C doit avoir une valeur constante pour un point quelconque de cette courbe.

Soit a la valeur constante de ce rayon; Téquation (d(TY donne la condition

laquelle montre que le rayon de courbure de la courbe C, a aussi une valeur constante et égale à la valeur a du rayon de courbure de la courbe C; mais, de ce que les rayons de courbure des deux courbes C et C, seraient égaux, il ne s'ensuit vrait pas que les deux courbes C et C, coïncident. En effet, s! l'on introduit cette condition dans l'équation (rfc)' du n® 109, on trouve

laquelle étant ^intégrée donne, p» et &>• étant deux constantes,

et l'on voit alors que la distance L du centre de courbure et du centre de la sphère osculatrice n'est pas nulle, mais constante; et il est facile de voir, a posteriori, que, si dans le cas de p constant les deux courbes C3 et Ci ont même courbure, il n'en est pas de même lorsque les deux courbes C et C* ont pour valeur commune de leur rayon de courbure la valeur donnée par l'équation (2). En effet, si l'on se reporte aux équations (7) du n** 98, on trouve que les deux rayons pf'^ etp, sont généralement différents et qu'il faut déterminer complètement la courbe C sous une certaine condition pour que ces deux rayons soient égaux.

Cherchons cette nouvelle condition; la première équa-