LIVRE I. — 8BCT10N II. — CHANTRE V
lion (i) du n* 98 donne, dans Thypothèse de p égal à p., la
condilion
rfw ,
--- = cos/t,
et les équations (i) et ( 2) donnent l'équation résultante
Ukugh =
L'équation (3) donne la relation
coscp =— cosA (i-f- sin'A); enOn l'équation (4) donne la condition
dû) sinsA
di
2 sin9
laquelle détermine complètement la courbe C» puisqu'elle exprime la valeur du rapport spécifique angulaire de cette courbe.
114. Problème X. — Étant connues les équations élémentaires de la spirale conique, trouver les équations élémentaires du lieu des centres des sphères osculalrices.
Définition de la spirale conique. — Nous définissons cette
Rg. 17. #
courbe la ligne qui coupe sous un angle constant les génératrices d'un Q&ne circulaire (fig. 17).
DBS GOURBBS TRACÉS8 8DA LA SURPACS FOLAIRB. l8l
Équations élémentaires. — Considérons deux points M, M' inQniment voisins de la courbe, correspondant aux deux positions OM, OM' de la génératrice du cône. Soit la projection N du point M sur OM' : en apj^elant a Tangle de la tangente MT et de la génératrice OM, ds Télénient de courbe, r la projection OM de OMi sur le plan des xjr mené perpendiculairement à Taxe du cône en son sommet, 0 Tangle que cette projection fait avec une droite fixe dans ce plan prise pour axe des x; soit I l'angle de la génératrice et de Taxe Oz du cône et y l'angle de la tangente et de l'axe. On a les équations suivantes résultant du triangle infinitésimal MM'N :
dr (i) rd9= dss\nay rfr= cosasini rf*, — = cotasin/rfS,
la dernière résultant des deux autres.
Remarquons que la tangente forme avec la parallèle à l'axe un angle constant, puisque ces deux droites forment avec la génératrice un trièdre rectangle suivant cette génératrice, et, comme les angles / et a sont constants, il en est de même de Tangle y opposé au dièdre droit; on conclut de là que la spirale conique est de la classe des hélices, puisqu'elle coupe aussi sous angle constant les génératrices du cylindre formé par les droites qui projettent les points de la. courbe sur le plan des xy. Cette considération nous permet (79) d'écrire l'équation élémentaire de la caractéristique sphérique, laquelle est, en désignant par n une constante,
mais cette équation se démontre directement comme il suit. Si nous considérons l'angle de de deux tangentes infiniment voisinas, on aura, en projetant cet angle sur le plan des x^t la relation
(2) di-zs\nyd9.
La binormale étant perpendiculaire au plan de cet angle forme à la limite avec le plan des xy un angle égal à y ; donc, si l'on
iSa LIVRE I. — SECTION II. Cil A TITRE V.
projette Tangle c/oi de deux binormales infiniment voisines sur le plan des xy^ on aura aussi
(3) &ji=icosy (10.
Si l'on intègre la troisième des équations (i), et qu'on représente cotasini par m, on aura, par une détermination convenable de la constante arbitraire,
et la première des équations (1) devient
ds f^^
dQ sina**
les équations (4)9 (2) et (3) sont donc les équations élémentaires de la spirale conique. Si Ton élimine d, on trouvera les deux équations suivantes, a étant une constante :
Équations élémentaires du lieu des sphères osculatrices. — L'équation (rfo-)' (109) et les équations (1) du n» 110 donnent les suivantes :
Par conséquent le lieu des centres des sphères osculatrices est encore une spirale conique.
Coordonnées cartésiennes. — Ces coordonnées sont données par les dernières équations du n° 110. Les coordonnées d'un point quelconque de la spirale résultent directement de l'équation (7) «
